Giải các phương trình:
a) \({x^2} - 12x = 0\)
b) \(13{x^2} + 25x - 38 = 0\)
c) \(3{x^2} - 4\sqrt 3 x + 4 = 0\)
d) \(x(x + 3) = 27 - (11 - 3x)\)
Giải các phương trình:
a) \({x^2} - 12x = 0\)
b) \(13{x^2} + 25x - 38 = 0\)
c) \(3{x^2} - 4\sqrt 3 x + 4 = 0\)
d) \(x(x + 3) = 27 - (11 - 3x)\)
Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau và kiểm tra kết quả bằng máy tính cầm tay.
a) \(14{x^2} - 13x - 27 = 0\)
b) \(5,4{x^2} + 8x + 2,6 = 0\)
c) \(\frac{2}{3}{x^2} + 2x - \frac{8}{3} = 0\)
d) \(3{x^2} - (3 + \sqrt 5 )x + \sqrt 5 = 0\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Phương trình \(14{x^2} - 13x - 27 = 0\)có a - b + c = 14 – (-13) - 27= 0.
Vậy phương trình có hai nghiệm là \({x_1} = - 1\); \({x_2} = - \frac{c}{a} = \frac{{27}}{{14}}\).
b) Phương trình \(5,4{x^2} + 8x + 2,6 = 0\) có a - b + c = 5,4 - 8 + 2,6 = 0.
Vậy phương trình có hai nghiệm là \({x_1} = - 1\); \({x_2} = - \frac{c}{a} = - \frac{{2,6}}{{5,4}} = - \frac{{13}}{{27}}\).
c) Phương trình \(\frac{2}{3}{x^2} + 2x - \frac{8}{3} = 0\)có a + b + c = \(\frac{2}{3} + 2 - \frac{8}{3} = 0\).
Vậy phương trình có hai nghiệm là \({x_1} = 1\); \({x_2} = \frac{c}{a} = - \frac{8}{3}:\frac{2}{3} = - 4\).
d) Phương trình \(3{x^2} - (3 + \sqrt 5 )x + \sqrt 5 = 0\) có a + b + c = \(3 - (3 + \sqrt 5 ) + \sqrt 5 = 0\).
Vậy phương trình có hai nghiệm là \({x_1} = 1\); \({x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Tìm hai số u và v (nếu có) trong mỗi trường hợp sau:
a) u + v = -2, uv = -35
b) u + v = 8, uv = -105
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Điều kiện có hai số đó là: \({S^2} - 4P \ge 0\) suy ra \({( - 2)^2} - 4.( - 35) = 144 \ge 0\)
Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình \({x^2} + 2x - 35 = 0\).
Ta có: \(\Delta = {2^2} - 4.1.( - 35) = 144 > 0;\sqrt \Delta = \sqrt {144} = 12\)
Suy ra \(u = \frac{{ - 2 + 12}}{2} = 5;v = \frac{{ - 2 - 12}}{2} = -7\)
Vậy hai số cần tìm là \(5\) và \(-7\).
b) Điều kiện có hai số đó là: \({S^2} - 4P \ge 0\) suy ra \({8^2} - 4.( - 105) = 484 \ge 0\)
Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình \({x^2} - 8x - 105 = 0\).
Ta có: \(\Delta = {( - 8)^2} - 4.1.( - 105) = 484 > 0;\sqrt \Delta = \sqrt {484} = 22\)
Suy ra \(u = \frac{{8 + 22}}{2} = 15;v = \frac{{8 - 22}}{2} = - 7\)
Vậy hai số cần tìm là 15 và -7.
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Cho phương trình \(2{x^2} - 7x + 6 = 0\). Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức:
A = \(\left( {{x_1} + 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} + 2{x_1}} \right) - {x_1}^2{x_2}^2\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiPhương trình \(2{x^2} - 7x + 6 = 0\) có \(\Delta = {( - 7)^2} - 4.2.6 = 1 > 0\) nên nó có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).
Theo định lí Viète, ta có:
\({x_1} + {x_2} = \frac{7}{2}\);\({x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = 3\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}A = \left( {{x_1} + 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} + 2{x_1}} \right) - {x_1}^2{x_2}^2\\ = {x_1}{x_2} + 2{x_1}^2 + 2{x_2}^2 + 4{x_1}{x_2} - {x_1}^2{x_2}^2\\ = {x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2 + 2{x_1}{x_2}} \right) - {x_1}^2{x_2}^2\\ = {x_1}{x_2} + 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}\\ = 3 + 2.{\left( {\frac{7}{2}} \right)^2} - {3^2}\\ = 3 + \frac{{49}}{2} - 9\\ = \frac{{37}}{2}\end{array}\)
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24 km. Khi đi từ B trở về A, nhờ xuôi gió nên tốc độ lúc về nhanh hơn tốc độ lúc đi là 4 km/h, vì thế thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút. Tính tốc độ của xe đạp khi đi từ A đến B.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiGọi tốc độ của xe đạp đi từ A đến B là x (km/h) (x > 0)
Suy ra tốc độ của xe đạp đi từ A đến B là x + 4 (km/h)
Thời gian xe đạp đi từ A đến B là: \(\frac{{24}}{x}\)(giờ).
Thời gian xe đạp đi từ B đến A là: \(\frac{{24}}{{x + 4}}\) (giờ).
Vì thời gian đi từ B đến A nhanh hơn đi từ A đến B là 30 phút = \(\frac{1}{2}\) giờ nên ta có phương trình:
\(\frac{{24}}{x}\)- \(\frac{{24}}{{x + 4}}\) = \(\frac{1}{2}\).
Biến đổi phương trình trên, ta được:
24.2.(x + 4)- 24.2.x = x.(x + 4) hay \({x^2} + 4x - 192 = 0\)
Giải phương trình trên, ta được \({x_1} = 12(TM),{x_2} = - 16(L)\)
Vậy tốc độ của xe đạp đi từ A đến B là 12 km/h.
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Một đội thợ mỏ phải khai thác 216 tấn than trong một thời gian nhất định. Ba ngày đầu , mỗi ngày khai thác theo đúng định mức. Sau đó, mỗi ngày họ đều khai thác vượt mức 8 tấn. Do đó họ đã khai thác được 232 tấn và xog trước thời hạn 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày đội thợ phải khai thác bao nhiêu tấn than?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiGọi x (tấn) là lượng than mà đội khai thác mỗi ngày theo kế hoạch ( x > 0)
Sau 3 ngày đầu, mỗi ngày đội khai thác x + 8 (tấn)
Thời gian dự định khai thác là \(\frac{{216}}{x}\) (ngày)
Lượng than khai thác 3 ngày đầu là 3x (tấn)
Lượng than khai thác trong những ngày còn lại là 232 – 3x (tấn)
Thời gian đội khai thác 232 – 3x tấn than là: \(\frac{{232 - 3x}}{{x + 8}}\) (ngày)
Theo bài ra ta có phương trình: \(\frac{{216}}{x} - 1 = 3 + \frac{{232 - 3x}}{{x + 8}}\)
Biến đổi phương trình trên, ta được:
\({x^2} + 48x - 1728 = 0\)
Giải phương trình trên, ta được \({x_1} = 24(TM),{x_2} = - 72(L)\)
Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày đội thợ phải khai thác 24 tấn than.
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Một miếng kim loại thứ nhất nặng 585 g, miếng kim loại thứ hai nặng 420 g. Thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là 10cm3 , nhưng khối lượng riêng của miếng thứ nhất lớn hơn khối lượng riêng của miếng thứ hai là 9 g/cm3 . Biết công thức tính khối lượng riêng của một vật là \(D = \frac{m}{V}\), trong đó: D (g/cm3) là khối lượng riêng, m (g) là khối lượng của vật, V (cm3) là thể tích của vật. Tìm khối lượng riêng của mỗi miếng kim loại.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiGọi x là thể tích miếng kim loại thứ nhất (x > 0) (cm3)
Suy ra thể tích miếng kim loại thứ hai là x + 10 (cm3)
Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là: \(\frac{{585}}{x}\) g/cm3
Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là: \(\frac{{420}}{{x + 10}}\) g/cm3
Theo bài ra ta có phương trình: \(\frac{{585}}{x}\) - \(\frac{{420}}{{x + 10}}= 9\)
Biến đổi phương trình trên, ta được:
\(9{x^2} - 75x - 5850 = 0\)
Giải phương trình trên, ta được \({x_1} = 30(TM),{x_2} = - \frac{{65}}{3}(L)\)
Vậy khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là \(\frac{{585}}{{30}} = 19,5\) g/cm3 và khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là \(\frac{{420}}{{30 + 10}} = 10,5\) g/cm3.
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Hai dung dịch muối có tổng khối lượng bằng 220 kg. Lượng muối trong dung dịch I là 5 kg, lượng muối trong dung dịch II là 4,8 kg. Biết nồng độ muối trong dung dịch I nhiều hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 1%. Tính khối lượng mỗi dung dịch nói trên.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiGọi khối lượng dung dịch I là x (kg) (0 < x < 220)
Khối lượng dung dịch II là 220 – x (kg)
Theo bài ra ta có phương trình: \(\frac{5}{x} - \frac{{4,8}}{{220 - x}} = \frac{1}{{100}}\)
Biến đổi phương trình trên, ta được:
\({x^2} - 1200x + 11000 = 0\)
Giải phương trình trên, ta được \({x_1} = 100(TM),{x_2} = 1100(L)\)
Vậy khối lượng dung dịch I là 100 kg và khối lượng dung dịch II là 120 kg.
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)