Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Hướng dẫn giải

a) x⁴ – 5x²+ 4 = 0.

Đặt x² = t ≥ 0, ta có: t² – 5t + 4 = 0; t₁ = 1, t₂ = 4

Nên: x₁ = -1, x₂ = 1, x₃ = -2, x₄ = 2.

b) 2x⁴ – 3x² – 2 = 0.

Đặt x² = t ≥ 0, ta có: 2t² – 3t – 2 = 0; t₁ = 2, t₂ = (loại)

Vậy: x₁ = √2; x₂ = -√2

c) 3x⁴ + 10x² + 3 = 0.

Đặt x² = t ≥ 0, ta có: 3t² + 10t + 3 = 0; t₁ = -3(loại), t₂ = (loại)

Phương trình vô nghiệm.

(Trả lời bởi Đặng Phương Nam)

Hướng dẫn giải

a) + 2 = x(1 - x)

⇔ x² – 9 + 6 = 3x – 3x²

⇔ 4x² – 3x – 3 = 0; ∆ = 57

x₁ = , x₂ =

b) + 3 = . Điều kiện x ≠ 2, x ≠ 5.

(x + 2)(2 – x) + 3(x – 5)(2 – x) = 6(x – 5)

⇔ 4 – x^{2 –} 3x² + 21x – 30 = 6x – 30 ⇔ 4x² – 15x – 4 = 0

∆ = 225 + 64 = 289, √∆ = 17

x₁ = , x₂ = 4

c) = . Điều kiện: x ≠ -1; x ≠ -2

Phương trình tương đương: 4(x + 2) = -x² – x + 2

⇔ 4x + 8 = 2 – x² – x

⇔ x² + 5x + 6 = 0

Giải ra ta được: x₁ = -2 không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên phương trình chỉ có một nghiệm x = -3.

(Trả lời bởi Đặng Phương Nam)

Hướng dẫn giải

a) (3x² – 5x + 1)(x² – 4) = 0

=> 3x² – 5x + 1 = 0 => x =

hoặc x² – 4 = 0 => x = ±2.

b) (2x² + x – 4)² – (2x – 1)² = 0

⇔ (2x² + x – 4 + 2x – 1)(2x² + x – 4 – 2x + 1) = 0

⇔ (2x² + 3x – 5)(2x² – x – 3) = 0

=> 2x² + 3x – 5 = 0 hoặc 2x² – x – 3 = 0

X₁ = 1; x₂ = -2,5; x₃ = -1; x₄ = 1,5

(Trả lời bởi Đặng Phương Nam)

Hướng dẫn giải

a, Đặt \(x^2=t\left(t\ge0\right)\)
Phương trình đã cho trở thành: \(9t^2-10t+1=0\) (1)
Có a+b+c = 9 -10 +1 =0
=> Pt (1) có nghiệm: \(t_1=1;t_2=\dfrac{1}{9}\)( TMĐK của t )
Với \(t_1=1\) ta có \(x^2=1\Leftrightarrow x=\pm1\)
Với \(t_2=\dfrac{1}{9}\) ta có \(x^2=\dfrac{1}{9}\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{1}{3}\)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S={-1;1;1/3;-1/3}

b, Pt \(\Leftrightarrow5x^4+3x^2-26=0\) (2)
Đặt \(x^2=t\left(t\ge0\right)\)
Pt (2) trở thành: \(5t^2+3t-26=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(5t+13\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\left(TMĐK\right)\\t=-\dfrac{13}{5}\left(KTMĐK\right)\end{matrix}\right.\)
Với t=2 ta có: \(x^2=2\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2}\)
Vậy pt đã cho có nghiệm \(x=\pm\sqrt{2}\)

c, Pt \(\Leftrightarrow3x^4+18x^2+15=0\) (3)
Đặt \(x^2=t\left(t\ge0\right)\)
Khi đó pt (3) trở thành: \(3t^2+18t+15=0\)
\(\Leftrightarrow t^2+6t+5=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t+1\right)\left(t+5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-1\\t=-5\end{matrix}\right.\) ( Không TMĐK)
Vậy pt đã cho vô nghiệm

d, ĐK: \(x\ne0\)
Pt \(\Leftrightarrow\dfrac{2x^3+x^2-1+4x^2}{x^2}=0\)
\(\Rightarrow2x^3+5x^2-1=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(2x+1\right)+2x\left(2x+1\right)-\left(2x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\left(x^2+2x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{2}\\x=-1\pm\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)( TMĐK )
Vậy tập nghiệm của pt đã cho là \(S=\left\{-\dfrac{1}{2};-1+\sqrt{2};-1-\sqrt{2}\right\}\)

(Trả lời bởi Hương Yangg)

Hướng dẫn giải

a) (x – 3)² + (x + 4)² = 23 – 3x ⇔ x² – 6x + 9 + x² + 8x + 16 = 23 – 3x

⇔ 2x² + 5x + 2 = 0

∆ = 25 – 16 = 9

x₁ = -2, x₂ =

b) x³ + 2x² – (x – 3)² = (x – 1)(x² – 2)

⇔ x³ + 2x² – x² + 6x – 9 = x³ – x² – 2x + 2 ⇔ 2x² + 8x – 11 = 0

∆’ = 16 + 22 = 38

x₁ = , x₂ =

c) (x – 1)³ + 0,5x² = x(x² + 1,5)

⇔ x³ – 3x² + 3x – 1 + 0,5x² = x³ + 1,5x

⇔ 2,5x² – 1,5x + 1 = 0

⇔ 5x² – 3x + 2 = 0; ∆ = 9 – 40 = -31 < 0

Phương trình vô nghiệm

d) – 1 = -

⇔ 2x(x – 7) – 6 = 3x – 2(x – 4)

⇔ 2x² – 14x – 6 = 3x – 2x + 8

⇔ 2x² – 15x – 14 = 0; ∆ = 225 + 112 = 337

x₁ = , x₂ =

e) = 1 - . Điều kiện: x ≠ ±3

Phương trình được viết lại: = 1 +

⇔ 14 = x² – 9 + x + 3

⇔ x² + x – 20 = 0, ∆ = 1 + 4 . 20 = 81

√∆ = 9

Nên x₁ = = -5; x₂ = = 4 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁ = -5, x₂ = 4.

f) = . Điều kiện: x ≠ -1, x ≠ 4

Phương trình tương đương với:

2x(x – 4) = x² – x + 8 ⇔ 2x² – 8x – x² + x – 8 = 0

⇔ x² – 7x – 8 = 0

Có a – b + c = 1 – (-7) – 8 = 0 nên x₁ = -1, x₂ = 8

Vì x₁ = -1 không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên: phương trình có một nghiệm là x = 8.

(Trả lời bởi Đặng Phương Nam)

Hướng dẫn giải

a) (3x² - 7x – 10)[2x² + (1 - √5)x + √5 – 3] = 0

=> hoặc (3x² - 7x – 10) = 0 (1)

hoặc 2x² + (1 - √5)x + √5 – 3 = 0 (2)

Giải (1): phương trình a - b + c = 3 + 7 - 10 = 0

nên

x₁ = - 1, x₂ = =

Giải (2): phương trình có a + b + c = 2 + (1 - √5) + √5 - 3 = 0

nên

x₃ = 1, x₄ =

b) x³ + 3x²– 2x – 6 = 0 ⇔ x²(x + 3) – 2(x + 3) = 0 ⇔ (x + 3)(x² - 2) = 0

=> hoặc x + 3 = 0

hoặc x² - 2 = 0

Giải ra x₁ = -3, x₂ = -√2, x₃ = √2

c) (x² - 1)(0,6x + 1) = 0,6x² + x ⇔ (0,6x + 1)(x² – x – 1) = 0

=> hoặc 0,6x + 1 = 0 (1)

hoặc x² – x – 1 = 0 (2)

(1) ⇔ 0,6x + 1 = 0

⇔ x₂ = =

(2): ∆ = (-1)² – 4 . 1 . (-1) = 1 + 4 = 5, √∆ = √5

x₃ = , x₄ =

Vậy phương trình có ba nghiệm:

x₁ = , x₂ = , x₃ = ,

d) (x² + 2x – 5)² = ( x² – x + 5)² ⇔ (x² + 2x – 5)² - ( x² – x + 5)² = 0

⇔ (x² + 2x – 5 + x² – x + 5)( x² + 2x – 5 - x² + x - 5) = 0

⇔ (2x² + x)(3x – 10) = 0

⇔ x(2x + 1)(3x – 10) = 0

Hoặc x = 0, x = , x =

Vậy phương trình có 3 nghiệm:

x₁ = 0, x₂ = , x₃ =

(Trả lời bởi Đặng Phương Nam)

Hướng dẫn giải

a) 3(x² + x)² – 2(x² + x) – 1 = 0. Đặt t = x² + x, ta có:

3t² – 2t – 1 = 0; t₁ = 1, t₂ =

Với t₁ = 1, ta có: x² + x = 1 hay x² + x – 1 = 0, ∆ = 4 + 1 = 5, √∆ = √5

x₁ = , x₂ =

Với t₂ = , ta có: x² + x = hay 3x² + 3x + 1 = 0:

Phương trình vô nghiệm, vì ∆ = 9 – 4 . 3 . 1 = -3 < 0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x₁ = , x₂ =

b) (x² – 4x + 2)² + x² – 4x – 4 = 0

Đặt t = x² – 4x + 2, ta có phương trình t² + t – 6 = 0

Giải ra ta được t₁ = 2, t₂ = -3.

- Với t₁ = 2 ta có: x² – 4x + 2 = 2 hay x² – 4x = 0. Suy ra x₁ = 0, x₂ = 4.

- Với t₁ = -3, ta có: x² – 4x + 2 = -3 hay x² – 4x + 5 = 0.

Phương trình này vô nghiệm vì ∆ = (-4)² – 4 . 1 . 5 = 16 – 20 = -4 < 0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x₁ = 0, x₂ = 4.

c) x - √x = 5√x + 7 ⇔ x - 6√x – 7 = 0. Điều kiện: x ≥ 0. Đặt t = √x, t ≥ 0

Ta có: t² – 6t – 7 = 0. Suy ra: t₁ = -1 (loại), t₂ = 7

Với t = 7, ta có: √x = 7. Suy ra x = 49.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: x = 49

d) – 10 . = 3. Điều kiện: x ≠ -1, x ≠ 0

Đặt = t, ta có: = . Vậy ta có phương trình: t - – 3 = 0

hay: t² – 3t – 10 = 0. Suy ra t₁ = 5, t₂ = -2.

- Với t₁ = 5, ta có = 5 hay x = 5x + 5. Suy ra x =

- Với t₂ = -2, ta có = -2 hay x = -2x – 2. Suy ra x = .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x₁ = , x₂ =

(Trả lời bởi Đặng Phương Nam)

Hướng dẫn giải

(Trả lời bởi Nguyen Thuy Hoa)

Hướng dẫn giải

a) \(\dfrac{12}{x-1}-\dfrac{8}{x+1}=1\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{12\left(x+1\right)-8\left(x-1\right)}{x^2-1}=1\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{12x+12-8x+8}{x^2-1}=1\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{4x+20}{x^2-1}=1\)

\(\Leftrightarrow\) \(x^2-1=4x+20\) \(\Leftrightarrow\) \(x^2-4x-21=0\)

giải pt ta có 2 nghiệm : \(x_1=7;x_2=-3\)

vậy phương trình có 2 nghiệm \(x=7;x=-3\)

b) \(\dfrac{16}{x-3}+\dfrac{30}{1-x}=3\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{16\left(1-x\right)+30\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(1-x\right)}=3\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{16-16x+30x-90}{x-x^2-3+3x}=3\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{14x-74}{-x^2+4x-3}=3\)

\(\Leftrightarrow\) \(3\left(-x^2+4x-3\right)=14x-74\)

\(\Leftrightarrow\) \(-3x^2+12x-9=14x-74\)

\(\Leftrightarrow\) \(3x^2-2x-65=0\)

giải pt ta có 2 nghiệm : \(x_1=5;x_2=\dfrac{-13}{3}\)

vậy phương trình có 2 nghiệm \(x=5;x=\dfrac{-13}{3}\)

(Trả lời bởi Mysterious Person)

Hướng dẫn giải

a) \(\dfrac{12}{x-1}-\dfrac{8}{x+1}=1\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{12\left(x+1\right)-8\left(x-1\right)}{x^2-1}=1\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{12x+12-8x+8}{x^2-1}=1\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{4x+20}{x^2-1}=1\)

\(\Leftrightarrow\) \(x^2-1=4x+20\) \(\Leftrightarrow\) \(x^2-4x-21=0\)

giải pt ta có 2 nghiệm : \(x_1=7;x_2=-3\)

vậy phương trình có 2 nghiệm \(x=7;x=-3\)

b) \(\dfrac{16}{x-3}+\dfrac{30}{1-x}=3\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{16\left(1-x\right)+30\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(1-x\right)}=3\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{16-16x+30x-90}{x-x^2-3+3x}=3\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{14x-74}{-x^2+4x-3}=3\)

\(\Leftrightarrow\) \(3\left(-x^2+4x-3\right)=14x-74\)

\(\Leftrightarrow\) \(-3x^2+12x-9=14x-74\)

\(\Leftrightarrow\) \(3x^2-2x-65=0\)

giải pt ta có 2 nghiệm : \(x_1=5;x_2=\dfrac{-13}{3}\)

vậy phương trình có 2 nghiệm \(x=5;x=\dfrac{-13}{3}\)

(Trả lời bởi Mysterious Person)