Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Hướng dẫn giải

Hàm số thể hiện tốc độ thay đổi của huyết áp là:

\(y = P'\left( t \right) = \frac{{50t\left( {{t^2} + 1} \right) - 2t\left( {25{t^2} + 125} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 200t}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}\)

Tốc độ thay đổi của huyết áp sau 5 giây kể từ khi máu rời tim là: \(y\left( 5 \right) = \frac{{ - 200.5}}{{{{\left( {{5^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 250}}{{169}}\)

Tốc độ thay đổi huyết áp sau 5 giây kể từ khi máu rời tim là giảm \(\frac{{250}}{{169}}\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi độ dài đoạn CD là x (km \(0 < x < 8\))

Quãng đường AD dài: \(\sqrt {A{C^2} + D{C^2}}  = \sqrt {9 + {x^2}} \left( {km} \right)\)

Quãng đường BD dài \(8 - x\left( {km} \right)\)

Thời gian người đó đi đến B bằng cách chèo thuyền đến một điểm D nào đó giữa C và B rồi chạy bộ đến B là: \(\frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8}\) (giờ)

Xét hàm số \(y = \frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8}\) với \(0 < x < 8\)

Ta có: \(y' = \frac{x}{{6\sqrt {9 + {x^2}} }} - \frac{1}{8}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {9 + {x^2}} }} - \frac{1}{8} = 0 \Leftrightarrow 4x = 3\sqrt {9 + {x^2}}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16{x^2} = 9\left( {9 + {x^2}} \right)\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{{81}}{7}\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{9}{{\sqrt 7 }}\)

Bảng biến thiên:

Vậy anh An phải chèo thuyền sang bờ ở điểm D cách B một khoảng bằng \(\frac{9}{{\sqrt 7 }}km\) thì đến B sớm nhất.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Gọi p (triệu đồng) là giá của mỗi ti vi, x là số ti vi. Khi đó, hàm cầu là \(p = p\left( x \right)\).

Theo giả thiết, tốc độ thay đổi của x tỉ lệ với tốc độ thay đổi của p nên hàm số \(p = p\left( x \right)\) là hàm số bậc nhất nên. Do đó, \(p\left( x \right) = ax + b\) (a khác 0).

Giá tiền \(p{ & _1} = 14\) ứng với \({x_1} = 1\;000\), giá tiền \({p_2} = 13,5\) ứng với \({x_2} = 1\;000 + 100 = 1\;100\)

Do đó, phương trình đường thẳng \(p\left( x \right) = ax + b\) đi qua hai điểm (1000; 14) và (1 100; 13,5). Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}14 = 1\;000a + b\\13,5 = 1\;100a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 1}}{{200}}\\b = 19\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Vậy hàm cầu là: \(p\left( x \right) =  - \frac{1}{{200}}x + 19\)

b) Vì \(p = \frac{{ - 1}}{{200}}x + 19 \Rightarrow x =  - 200p + 3\;800\)

Hàm doanh thu từ tiền bán ti vi là: \(R\left( p \right) = px = p\left( { - 200p + 3\;800} \right) =  - 200{p^2} + 3\;800p\)

Để doanh thu là lớn nhất thì ta cần tìm p sao cho R đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: \(R'\left( p \right) =  - 400p + 3\;800,R'\left( p \right) = 0 \Leftrightarrow p = \frac{{19}}{2}\)

Bảng biến thiên:

Vậy công ty nên giảm giá số tiền một chiếc ti vi là: \(14 - \frac{{19}}{2} = 4,5\) (triệu đồng) thì doanh thu là lớn nhất.

c) Doanh thu bán hàng của x sản phẩm là: \(R\left( x \right) = x.p\left( x \right) = x.\left( {\frac{{ - 1}}{{200}}x + 19} \right) = \frac{{ - {x^2}}}{{200}} + 19x\) (triệu đồng)

Do đó, hàm số thể hiện lợi nhuận thu được khi bán x sản phẩm là:

\(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = \frac{{ - {x^2}}}{{200}} + 19x - 12\;000 + 3x = \frac{{ - {x^2}}}{{200}} + 22x - 12\;000\) (triệu đồng).

Để lợi nhuận là lớn nhất thì P(x) là lớn nhất.

Ta có: \(P'\left( x \right) = \frac{{ - x}}{{100}} + 22,P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\;200\)

Bảng biến thiên:

Vậy có 2200 ti vi được bán ra thì lợi nhuận là cao nhất. Số ti vi mua tăng lên là: \(2200 - 1000 = 1\;200\) (chiếc)

Vậy cửa hàng nên đặt giá bán là: \(14 - 0,5.\frac{{1\;200}}{{100}} = 8\) (triệu đồng)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Hàm vận tốc là: \(v\left( t \right) = y' = 3{t^2} - 12\), \(t \ge 0\)

Hàm gia tốc là: \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = y'' = 6t\), \(t \ge 0\)

b) Hạt chuyển động lên trên khi \(v\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 12 > 0 \Leftrightarrow t > 2\) (do \(t \ge 0\))

Hạt chuyển động xuống dưới khi \(v\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 12 < 0 \Leftrightarrow 0 \le t < 2\) (do \(t \ge 0\))

c) Ta có: \(y\left( 3 \right) - y\left( 0 \right) = {3^3} - 12.3 + 3 - 3 =  - 9\)

Vậy quãng đường vật đi được trong thời gian \(0 \le t \le 3\) là 9m.

d) Hạt tăng tốc khi \(v\left( t \right)\) tăng hay \(v'\left( t \right) > 0.\) Do đó, \(6t > 0 \Leftrightarrow t > 0\)

Hạt giảm tốc khi \(v\left( t \right)\) giảm hay \(v'\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow 6t < 0 \Leftrightarrow t < 0\) (không thỏa mãn do \(t \ge 0\))

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Hàm chi phí biên là: \(C'\left( x \right) = 0,00525{x^2} - x + 50\).

b) Ta có: \(C'\left( {100} \right) = 0,{00525.100^2} - 100 + 50 = 2,5\) (trăm nghìn đồng)

Chi phí biên tại \(x = 100\) là 250 000 đồng, nghĩa là chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo (đơn thứ 101) là khoảng 250 000 đồng.

c) Chi phí sản xuất đơn hàng thứ 101 là:

\(C\left( {101} \right) - C\left( {100} \right) = 24\;752,52675 - 24\;750 = 2,52675\) (trăm nghìn đồng)

Giá trị này xấp xỉ với chi phí biên C’(100) đã tính ở câu b.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi x là số lần tăng giá 100 nghìn đồng (\(x > 0\)).

Khi đó, số căn được cho thuê là: \(100 - x\) (căn)

Tổng số tiền thu được trong một tháng là:

\(\left( {100 - x} \right)\left( {8\;000\;000 + 100\;000x} \right) = 100\;000\left( {100 - x} \right)\left( {80 + x} \right) = 100\;000\left( { - {x^2} + 20x + 8\;000} \right)\)

\( = 100\;000\left[ { - {{\left( {x - 10} \right)}^2} + 8\;100} \right] \le 810\;000\;000\) với mọi \(x > 0\).

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 10\) (thỏa mãn)

Vậy để thu được doanh thu là lớn nhất thì người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là: \(8\;000\;000 + 100\;000.10 = 9\;000\;000\) (đồng).

Sử dụng kiến thức về cách giải bài toán tối ưu hóa đơn giản để tìm doanh thu lớn nhất:

Bước 1: Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán.

Bước 2: Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x, và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo x. Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến x. Tìm tập xác định của hàm số \(Q = Q\left( x \right)\).

Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số \(Q = Q\left( x \right)\) bằng các phương pháp đã biết và kết luận.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Tìm công thức tính x như là hàm số của p. Tìm tập xác định của hàm số này. Tính số đơn vị sản phẩm đã bán khi giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghìn đồng.

Vì \(p = \frac{{354}}{{1 + 0,01x}} \Rightarrow p\left( {1 + 0,01x} \right) = 354 \Rightarrow p + 0,01px = 354 \Rightarrow x = \frac{{354 - p}}{{0,01p}}\)

Tập xác định của hàm số là: \(\left( {0;354} \right]\)

Với \(p = 240\) ta có: \(x = \frac{{354 - 240}}{{0,01.240}} = 47,5\)

Vậy với giá bán mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghìn đồng thì bán được 47,5 đơn vị sản phẩm.

b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số: \(x = x\left( p \right) = \frac{{354 - p}}{{0,01p}}\)

1. Tập xác định của hàm số: \(\left( {0;354} \right]\)

2. Sự biến thiên:

Ta có: \(x'\left( p \right) = \frac{{ - 3,54}}{{{{\left( {0,01p} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(p \in \left( {0;354} \right]\).

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;354} \right)\).

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{p \to {0^ + }} x\left( p \right) = \mathop {\lim }\limits_{p \to {0^ + }} \frac{{354 - p}}{{0,01p}} =  + \infty \)

Do đó, đồ thị hàm số \(x = x\left( p \right) = \frac{{354 - p}}{{0,01p}}\) với \(p \in \left( {0;354} \right]\) nhận đường thẳng \(p = 0\) làm tiệm cận đứng.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có: \(f\left( p \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{354 - p}}{{0,01p}} = 0 \Leftrightarrow p = 354\)

Đồ thị hàm số \(x = f\left( p \right) = \frac{{354 - p}}{{0,01p}}\) cắt trục hoành tại điểm (354; 0).

Đồ thị hàm số \(x = f\left( p \right) = \frac{{354 - p}}{{0,01p}}\) đi qua các điểm (300; 18); (200; 77).

Đồ thị hàm số \(x = f\left( p \right) = \frac{{354 - p}}{{0,01p}}\) với \(p \in \left( {0;354} \right]\) là đường màu xanh:

 

- Số lượng đơn vị sản phẩm bán sẽ giảm đi khi giá bán tăng, và sẽ không bán được sản phẩm nào nếu giá bán là 354 nghìn đồng

- Ý nghĩa thực tiễn của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{p \to {0^ + }} x\left( p \right)\): Vì \(\mathop {\lim }\limits_{p \to {0^ + }} x\left( p \right) =  + \infty \) nên giá bán càng thấp thì số lượng đơn vị sản phẩm sẽ bán được càng nhiều.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)