Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

Ta có: \(y' = 2x - 4,y' = 0 \Leftrightarrow 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2\)

Vậy với \(x = 2\) thì \(y' = 0\).

b) Trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\), \(y' < 0\) nên hàm số nghịch biến. Trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\), \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến.

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2,\) giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = - 1\). Hàm số không có cực đại.

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^2} - 4x + 3} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^2}\left( {1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} \right] = + \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^2} - 4x + 3} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^2}\left( {1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} \right] = + \infty \)

Bảng biến thiên:

 

d) Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\) với trục tung là \(\left( {0;3} \right)\).

Ta có: \({x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\). Do đó, giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm \(\left( {3;0} \right);\left( {1;0} \right)\).

Điểm \(\left( {4;3} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\).

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = 2\) làm trục đối xứng.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

2. Sự biến thiên:

Ta có: \(y' =  - 6{x^2} + 6x - 5 =  - 6{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{7}{2} \le  - \frac{7}{2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 2 + \frac{3}{x} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} \right] =  + \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 2 + \frac{3}{x} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} \right] =  - \infty \)

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị: 

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y =  - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x\) với trục tung là \(\left( {0;0} \right)\).

Ta có: \( - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x = 0 \Leftrightarrow  - x\left( {2{x^2} - 3x + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\). Do đó, giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (0; 0).

Điểm \(\left( {1; - 4} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y =  - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x\).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm \(\left( {\frac{1}{2}; - 2} \right)\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x} = \frac{{2x + 45}}{x}\)

Vì \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 45}}{{{x^2}}} < 0\) với mọi \(x \ge 1\) nên hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}\) là hàm số giảm.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x + 45}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2 + \frac{{45}}{x}}}{1} = 2\)

Do đó, chi phí trung bình giảm theo x nhưng luôn lớn 2 triệu đồng/ sản phẩm.

Điều này được thể hiện trong Hình 1.27 là đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}\) có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\) và đi xuống trong khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Thể tích nước trong bể sau t phút là: \(200 + 40t\) (l).

Khối lượng chất khử trùng trong bể sau t phút là: \(20t\) (g).

Nồng độ chất khử trùng trong bể sau t phút là: \(\frac{{20t}}{{40t + 200}}\)(gam/lít).

b) Hàm số về nồng độ chất khử trùng là: \(f\left( t \right) = \frac{{20t}}{{40t + 200}},t \ge 0\)

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right) = \frac{{20t}}{{40t + 200}},t \ge 0\).

1. Tập xác định của hàm số: \(\left[ {0; + \infty } \right)\)

2. Sự biến thiên:

Ta có: \(f'\left( t \right) = \frac{{4000}}{{{{\left( {40t + 200} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(t \ge 0\).

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{20t}}{{40t + 200}} = \frac{1}{2}\)

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(y = \frac{1}{2}\) làm tiệm cận ngang (phần bên phải trục Oy).

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right) = \frac{{20t}}{{40t + 200}}\) với trục tung là \(\left( {0;0} \right)\).

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (0; 0).

Đồ thị hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{20t}}{{40t + 200}},t \ge 0\) là phần màu xanh không bị gạch chéo.

c) Vì \(f'\left( t \right) = \frac{{4000}}{{{{\left( {40t + 200} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(t \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } f\left( t \right) = \frac{1}{2}\) nên nồng độ chất khử trùng tăng theo t nhưng không vượt ngưỡng 0,5 gam/ lít.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)

2. Sự biến thiên:

Ta có: \(y = \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} =  - x + 1 + \frac{1}{{x - 2}}\)

\(y' =  - 1 - \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0\forall x \ne 2\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} =  + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} =  + \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - x + 1 + \frac{1}{{x - 2}} + x - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{x - 2}} = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - x + 1 + \frac{1}{{x - 2}} + x - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{{x - 2}} = 0\)

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = 2\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y =  - x + 1\) làm tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).

\(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\) hoặc \(x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\)

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm\(\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2};0} \right);\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2};0} \right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left( {2; - 1} \right)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

2. Sự biến thiên:

Ta có: \(y' = - 3{x^2} + 3,y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)

Trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\), \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến. Trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\), \(y' < 0\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\), giá trị cực đại . Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1\), giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = - 1\)

Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + 3x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 1 + \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = + \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^3} + 3x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 1 + \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = - \infty \)

Bảng biến thiên:

 

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 3x + 1\) với trục tung là (0; 1).

Các điểm (1; 3); \(\left( { - 1; - 1} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 3x + 1\).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (0; 1).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) 1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

2. Sự biến thiên:

\(y' = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\forall x \ne  - 1\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = 2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} =  - \infty \).

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x =  - 1\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y = 2\) làm tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0;1).

\(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1}}{2}\)

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left( {\frac{{ - 1}}{2};0} \right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(-1; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

 

b) 1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

2. Sự biến thiên:

\(y' = \frac{4}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} > 0\forall x \ne 1\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x + 3}}{{1 - x}} =  - 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x + 3}}{{1 - x}} =  - 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 3}}{{1 - x}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 3}}{{1 - x}} =  - \infty \)

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = 1\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y =  - 1\) làm tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 3).

\(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{x + 3}}{{1 - x}} = 0 \Leftrightarrow x =  - 3\)

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left( { - 3;0} \right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; -1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) 1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

2. Sự biến thiên:

Ta có: \(y = \frac{{2{x^2} - x + 4}}{{x - 1}} = 2x + 1 + \frac{5}{{x - 1}}\)

\(y' = 2 - \frac{5}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}},y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{2 - \sqrt {10} }}{2}\) hoặc \(x = \frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}\)

Trong khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{{2 - \sqrt {10} }}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}; + \infty } \right)\), \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến.

Trong khoảng \(\left( {\frac{{2 - \sqrt {10} }}{2};1} \right)\) và \(\left( {1;\frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}} \right)\), \(y' < 0\) nên hàm số nghịch biến.

Hàm số đạt cực đại tại \(x = \frac{{2 - \sqrt {10} }}{2}\), giá trị cực đại .

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}\), giá trị cực đại \({y_{CT}} = 2\sqrt {10}  + 3\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2{x^2} - x + 4}}{{x - 1}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2{x^2} - x + 4}}{{x - 1}} =  - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2{x^2} - x + 4}}{{x - 1}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2{x^2} - x + 4}}{{x - 1}} =  + \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {2x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {2x + 1 + \frac{5}{{x - 1}} - \left( {2x + 1} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{5}{{x - 1}} = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - \left( {2x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {2x + 1 + \frac{5}{{x - 1}} - \left( {2x + 1} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{5}{{x - 1}} = 0\)

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = 1\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y = 2x + 1\) làm tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; -4).

Đồ thị hàm số không cắt trục Ox.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 3) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Khối lượng dung dịch trong cốc sau khi trộn x(ml) KOH từ bình chứa là: \(m = 30.100 + 8x = 8x + 3\;000\left( {mg} \right)\)

Thể tích dung dịch trong cốc sau khi trộn x(ml) KOH từ bình chứa là: \(V = 30 + x\left( {ml} \right)\)

Nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn x (ml) từ bình chứa là:

\(C\left( x \right) = \frac{m}{V} = \frac{{8x + 3000}}{{30 + x}}\left( {mg/ml} \right)\)

b) Khảo sát hàm số \(y = C\left( x \right) = \frac{{8x + 3000}}{{x + 30}}\) với \(x \ge 0\).

1. Tập xác định của hàm số: \(\left[ {0; + \infty } \right)\)

2. Sự biến thiên:

\(C'\left( x \right) = \frac{{ - 2760}}{{{{\left( {x + 30} \right)}^2}}} < 0\forall x \ge 0\)

Hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } C\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{8x + 3000}}{{x + 30}} = 8\).

Do đó, đồ thị hàm số \(y = C\left( x \right) = \frac{{8x + 3000}}{{x + 30}}\) nhận đường thẳng \(y = 8\) làm tiệm cận ngang (phần bên phải trục Oy)

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0;100).

Đồ thị hàm số \(y = C\left( x \right) = \frac{{8x + 3000}}{{x + 30}}\) đi qua các điểm (200; 20); \(\left( {120;\frac{{132}}{5}} \right)\).

 

Đồ thị của hàm số \(y = C\left( x \right) = \frac{{8x + 3000}}{{x + 30}}\) với \(x \ge 0\) là phần nét màu xanh không bị gạch chéo.

c) Vì \(C'\left( x \right) = \frac{{ - 2760}}{{{{\left( {x + 30} \right)}^2}}} < 0\forall x \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } C\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{8x + 3000}}{{x + 30}} = 8\) nên nồng độ KOH trong cốc giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 8mg/ml

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Khi một điện trở \(8\Omega \) được mắc song song với một biến trở \(x\left( \Omega  \right)\) thì điện trở tương đương của mạch là: \(R\left( x \right) = \frac{{8x}}{{x + 8}}\left( \Omega  \right)\)

Vẽ đồ thị hàm số \(y = R\left( x \right) = \frac{{8x}}{{x + 8}}\) với \(x > 0\).

1. Tập xác định của hàm số: \(\left( {0; + \infty } \right)\)

2. Sự biến thiên:

\(R'\left( x \right) = \frac{{64}}{{{{\left( {x + 8} \right)}^2}}} > 0\forall x > 0\)

Hàm số đồng trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } R\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{8x}}{{x + 8}} = 8\).

Do đó, đồ thị hàm số \(y = R\left( x \right) = \frac{{8x}}{{x + 8}}\) với \(x > 0\) nhận đường thẳng \(y = 8\) làm tiệm cận ngang (phần bên phải trục Oy).

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 0).

Đồ thị hàm số \(y = R\left( x \right) = \frac{{8x}}{{x + 8}}\) đi qua các điểm (8; 4); \(\left( {12;\frac{{24}}{5}} \right)\).

a) Vì \(R'\left( x \right) = \frac{{64}}{{{{\left( {x + 8} \right)}^2}}} > 0\forall x > 0\) nên khi x tăng thì điện trở tương đương của mạch tăng.

b) Vì \(R'\left( x \right) = \frac{{64}}{{{{\left( {x + 8} \right)}^2}}} > 0\forall x > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } R\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{8x}}{{x + 8}} = 8\) nên điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá \(8\Omega \).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)