Mỗi tam giác có mấy đường trung trực?
Bài 35. Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác
Câu hỏi (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống trang 77-79)
Thảo luận (1)
Hoạt động 1 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống trang 77-79)
Vẽ tam giác ABC (không tù) và ba đường trung trực của các đoạn BC, CA, AB. Quan sát hình và cho biết ba đường trung trực đó có cùng đi qua một điểm hay không?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Hoạt động 2 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống trang 77-79)
Dùng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, hãy lập luận để suy ra tính chất nói ở HĐ1 bằng cách trả lời các câu hỏi sau:
Cho O là giao điểm các đường trung trực của hai cạnh BC và CA (H.9.38)
a) Tại sao OB = OC, OC = OA.
b) Điểm O có nằm trên đường trung trực của AB không?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
a)
Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm AC.
Xét \(\Delta OBM\) và \(\Delta OCM\) có:
BM = CM (gt)
\(\widehat {OMB} = \widehat {OMC} = {90^0}\)
OM chung
\( \Rightarrow \Delta OBM = \Delta OCM\left( {c - g - c} \right)\)
\( \Rightarrow OB = OC\)(cạnh tương ứng)
Chứng minh tương tự: \(\Delta OAN = \Delta OCN\) (c – g – c) \( \Rightarrow OA = OC\) (cạnh tương ứng)
b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA = OC\\OB = OC\end{array} \right.\left( {cmt} \right) \Rightarrow OA = OB\)
\( \Rightarrow O\) cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng AB
\( \Rightarrow O\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)
Luyện tập 1 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống trang 77-79)
Chứng minh rằng trong tam giác đều ABC, trọng tâm G cách đều 3 đỉnh của tam giác đó.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Tam giác ABC đều nên AB = BC = CA
Tam giác ABC cân tại B có BN là đường trung tuyến
\( \Rightarrow BN\)là đường trung trực của đoạn thẳng AC
Tam giác BAC cân tại A có AP là đường trung tuyến
\( \Rightarrow AP\)là đường trung trực của đoạn thẳng BC
Mà \(BN \cap AP = G\)
\( \Rightarrow G\)là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC
\( \Rightarrow GA = GB = GC\).
(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)
Vận dụng 1 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống trang 77-79)
Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải3 ngôi nhà không thẳng hàng nên tạo thành 1 tam giác, ta gọi là tam giác ABC.
Điểm khoan giếng cách đều 3 ngôi nhà khi và chỉ khi điểm khoan giếng là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC.
Vậy, ta cần vẽ 2 đường trung trực của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại đâu thì đó là điểm cần khoan giếng.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Thử thách nhỏ (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống trang 77-79)
Sử dụng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, hãy giải thích nếu điểm Q cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC thì Q phải là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Vì Q cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC nên QA=QB=QC
Vì QA=QB nên Q nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).
Vì QA=QC nên Q nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).
Vì QB=QC nên Q nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).
Vậy Q là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC.
(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)
Câu hỏi (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống trang 79-81)
Mỗi tam giác có mấy đường cao?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiỨng với 1 cạnh của tam giác, ta có 1 đường cao
Vậy mỗi tam giác có 3 đường cao.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Hoạt động 3 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống trang 79-81)
Vẽ tam giác ABC và 3 đường cao của nó. Quan sát hình và cho biết, ba đường cao đó có cùng đi qua một điểm hay không?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Luyện tập 2 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống trang 79-81)
a) Chứng minh trong tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của cạnh BC là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác đó.
b) Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều ba cạnh của tam giác.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
a) Kẻ đường trung trực của đoạn thẳng BC, cắt BC tại D
Ta có: Tam giác ABC cân nên AB = AC
\( \Rightarrow A\)thuộc đường trung trực của cạnh BC (t/c)
\( \Rightarrow AD\)là đường trung trực của BC.
Xét \(\Delta ABD\)và \(\Delta ACD\)có:
AB = AC (gt)
BD = CD (gt)
AD: cạnh chung
\( \Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACD\left( {c - c - c} \right)\)
\( \Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {CAD}\)
\( \Rightarrow \)AD là tia phân giác góc BAC.
Vậy tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của cạnh BC là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác đó.b)
Ta có: Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác là giao điểm ba đường trung trực của tam giác đó.
Tam giác ABC đều nên AB = BC = CA
Tam giác ABC cân tại A có AN là đường trung tuyến
\( \Rightarrow \) AN là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A (cm ở ý a)
Tương tự: BP, CM lần lượt là đường phân giác xuất phát từ B và C của tam giác ABC
Mà AN cắt BP tại G
\( \Rightarrow G\) là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC
\( \Rightarrow G\) cách đều ba cạnh của tam giác ABC (Tính chất
(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)
Bài 9.26 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống trang 81)
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác HBC, HCA, HAB.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
a)
Trong ΔABC ta có H là trực tâm nên:
AH ⊥ BC tại N, BH ⊥ AC tại P, CH ⊥ AB tại M
Trong ΔAHB, ta có:
HM ⊥ AB
BN ⊥ AH
Mà MH cắt BN tại C
=> C là trực tâm của tam giác AHB.
Trong ΔHAC, ta có:
HP ⊥ AC
CN ⊥ AH
Mà HP cắt CN tại B
=> B là trực tâm của ΔHAC.
Trong ΔHBC, ta có:
HN ⊥ BC
BM ⊥ HC
Mà HN cắt BM tại A
=> A là trực tâm của tam giác HBC.
(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)
