a) Bằng cách viết \(y = \tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\,\,\,\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right),\) tính đạo hàm của hàm số \(y = \tan x.\)
b) Sử dụng đẳng thức \(\cot x = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\) với \(x \ne k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right),\) tính đạo hàm của hàm số \(y = \cot x.\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y = 2{\tan ^2}x + 3\cot \left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right).\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(y'=2\left(tan^2x\right)'+3\left[cot\left(\dfrac{\pi}{3}-2x\right)\right]'\\ =2\cdot2tanx\cdot\left(tanx\right)'+3\cdot\dfrac{-\left(\dfrac{\pi}{3}-2x\right)'}{sin^2\left(\dfrac{\pi}{3}-2x\right)}\\ =\dfrac{4tanx}{cos^2x}+\dfrac{6}{sin^2\left(\dfrac{\pi}{3}-2x\right)}\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Một vật chuyển động có phương trình \(s\left( t \right) = 4\cos \left( {2\pi t - \frac{\pi }{8}} \right)\left( m \right),\) với t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc của vật khi t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(v\left(t\right)=s'\left(t\right)=4\left[cos\left(2\pi t-\dfrac{\pi}{8}\right)\right]'\\ =-4\left(2\pi t-\dfrac{\pi}{8}\right)'sin\left(2\pi t-\dfrac{\pi}{8}\right)\\ =-8\pi sin\left(2\pi t-\dfrac{\pi}{8}\right)\)
Vận tốc của vật khi t = 5s là \(v\left(5\right)=-8\pi sin\left(10\pi-\dfrac{\pi}{8}\right)\approx9,6\left(m/s\right)\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
a) Sử dụng phép đổi biến \(t = \frac{1}{x},\) tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}}.\)
b) Với \(y = {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}},\) tính ln y và tìm giới hạn của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \ln y.\)
c) Đặt \(t = {e^x} - 1.\) Tính x theo t và tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x}.\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có \(t = \frac{1}{x},\) nên khi x tiến đến 0 thì t tiến đến dương vô cùng do đó
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {\left( {1 + \frac{1}{t}} \right)^t} = e\)
b) \(\ln y = \ln {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = \frac{1}{x}\ln \left( {1 + x} \right)\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \ln y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1\)
c) \(t = {e^x} - 1 \Leftrightarrow {e^x} = t + 1 \Leftrightarrow x = \ln \left( {t + 1} \right)\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{t}{{\ln \left( {t + 1} \right)}} = 1\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
a) Sử dụng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{e^h} - 1}}{h} = 1\) và đẳng thức \({e^{x + h}} - {e^x} = {e^x}\left( {{e^h} - 1} \right),\) tính đạo hàm của hàm số \(y = {e^x}\) tại x bằng định nghĩa.
b) Sử dụng đẳng thức \({a^x} = {e^{x\ln a}}\,\,\left( {0 < a \ne 1} \right),\) hãy tính đạo hàm của hàm số \(y = {a^x}.\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Với x bất kì và \(h = x - {x_0}\), ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{e^{{x_0} + h}} - {e^{{x_0}}}}}{h}\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{e^{{x_o}}}\left( {{e^h} - 1} \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} {e^{{x_0}}}.\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{e^h} - 1}}{h} = {e^{{x_0}}}\end{array}\)
Vậy hàm số \(y = {e^x}\) có đạo hàm là hàm số \(y' = {e^x}\)
b) Ta có \({a^x} = {e^{x\ln a}}\,\)nên \(\left( {{a^x}} \right)' = \left( {{e^{x\ln a}}} \right)' = \left( {x\ln a} \right)'.{e^{x\ln a}} = {e^{x\ln a}}\ln a = {a^x}\ln a\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = {e^{{x^2} - x}};\)
b) \(y = {3^{\sin x}}.\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(a,y'=\left(f\left(g\left(x\right)\right)\right)'\)
\(=f'\left(g\left(x\right)\right).g'\left(x\right)\)
\(=e^{g\left(x\right)}.\left(2x-1\right)\)
\(=e^{x^2-x}.\left(2x-1\right)\)
\(b,y'=\dfrac{d}{dx}\left(3^{sinx}\right)\)
\(=\dfrac{d}{dx}\left(e^{ln3.sinx}\right)\)
\(=\dfrac{d}{dx}\left(ln3.sinx\right).e^{ln3.sinx}\)
\(=ln3.cosx.3^{sinx}\)
(Trả lời bởi Mai Trung Hải Phong)
a) Sử dụng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + t} \right)}}{t} = 1\) và đẳng thức \(\ln \left( {x + h} \right) - \ln x = \ln \left( {\frac{{x + h}}{x}} \right) = \ln \left( {1 + \frac{h}{x}} \right),\) tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln x\) tại điểm x > 0 bằng định nghĩa.
b) Sử dụng đẳng thức \({\log _a}x = \frac{{\ln x}}{{\ln a}}\,\,\left( {0 < a \ne 1} \right),\) hãy tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _a}x.\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Với x > 0 bất kì và \(h = x - {x_0}\) ta có
\(\begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\ln \left( {{x_0} + h} \right) - \ln {x_0}}}{h}\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + \frac{h}{{{x_0}}}} \right)}}{{\frac{h}{{{x_0}}}.{x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{{x_0}}}.\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + \frac{h}{{{x_0}}}} \right)}}{{\frac{h}{{{x_0}}}}} = \frac{1}{{{x_0}}}\end{array}\)
Vậy hàm số \(y = \ln x\) có đạo hàm là hàm số \(y' = \frac{1}{x}\)
b) Ta có \({\log _a}x = \frac{{\ln x}}{{\ln a}}\) nên \(\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \left( {\frac{{\ln x}}{{\ln a}}} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _2}\left( {2x - 1} \right).\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(y'=\left(log_2\left(2x-1\right)\right)'=\dfrac{2}{\left(2x-1\right)ln2}\)
(Trả lời bởi Mai Trung Hải Phong)
Ta đã biết, độ pH của một dung dịch được xác định bởi \(pH = - \log \left[ {{H^ + }} \right],\) ở đó \(\left[ {{H^ + }} \right]\) là nồng độ (mol/l) của hydrogen. Tính tốc độ thay đổi của pH với nồng độ \(\left[ {{H^ + }} \right]\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiVới \(pH=-log\left[H^+\right]\),ta có:
\(\dfrac{dpH}{d\left[H^+\right]}=\dfrac{d}{d\left[H^+\right]}\left(-log\left[H^+\right]\right)\)
Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp, ta có:
\(\dfrac{dpH}{d\left[H^+\right]}=-1.\dfrac{d}{d\left[H^+\right]}\left(log\left[H^+\right]\right)\)
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số logarit tổng quát, ta có:
\(\dfrac{dpH}{d\left[H^+\right]}=-1.\dfrac{1}{\left[H^+\right]ln10}\)Vậy tốc độ thay đổi của \(pH\) đối với nồng độ \(\left[H^+\right]\) là:
\(\dfrac{dpH}{d\left[H^+\right]}=-\dfrac{1}{\left[H^+\right]ln10}\)
(Trả lời bởi Mai Trung Hải Phong)
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1;\)
b) \(y = {x^2} - 4\sqrt x + 3.\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảitham khảo:
a)\(y'=\dfrac{d}{dx}\left(x^3\right)-\dfrac{d}{dx}\left(3x^2\right)+\dfrac{d}{dx}\left(2x\right)+\dfrac{d}{dx}\left(1\right)\)
\(y'=3x^2-6x+2\)
b)\(\dfrac{d}{dx}\left(x^n\right)=nx^{n-1}\)
\(\dfrac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\dfrac{d}{dx}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)\)
\(\dfrac{d}{dx}\left(cf\left(x\right)\right)=cf'\left(x\right)\)
\(y'=\dfrac{d}{dx}\left(x^2\right)-\dfrac{d}{dx}\left(4\sqrt{x}\right)+\dfrac{d}{dx}\left(3\right)\)
\(y'=2x-2\sqrt{x}\)
(Trả lời bởi Bùi Nguyên Khải)