Tính \(\int\limits^2_1\left(x^3-x\right)dx\).
Tính \(\int\limits^2_1\left(x^3-x\right)dx\).
Tính \(\int\limits^3_1\left|x-2\right|dx.\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(\int\limits_1^3 {\left| {x - 2} \right|dx} = \int\limits_1^2 {\left| {x - 2} \right|dx} + \int\limits_2^3 {\left| {x - 2} \right|dx} \)
\( = \int\limits_1^2 {\left( {2 - x} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {x - 2} \right)dx} = \left( {2x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_1}\end{array}} \right. - \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^3}\\{_2}\end{array}} \right.\)
\( = \left[ {\left( {2.2 - \frac{{{2^2}}}{2}} \right) - \left( {2.1 - \frac{{{1^2}}}{2}} \right)} \right] + \left[ {\left( {\frac{{{3^2}}}{2} - 2.3} \right) - \left( {\frac{{{2^2}}}{2} - 2.2} \right)} \right] = 1\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Tích phân \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{5}}_{\dfrac{\pi}{7}}\sin xdx\) có giá trị bằng:
A. \(\sin\dfrac{\pi}{5}-\sin\dfrac{\pi}{7}.\). B. \(\sin\dfrac{\pi}{7}-\sin\dfrac{\pi}{5}.\).
C. \(\cos\dfrac{\pi}{5}-\cos\dfrac{\pi}{7}.\). D. \(\cos\dfrac{\pi}{7}-\cos\dfrac{\pi}{5}.\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(\int\limits_{\frac{\pi }{7}}^{\frac{\pi }{5}} {\sin xdx} = \left. { - \cos x} \right|_{\frac{\pi }{7}}^{\frac{\pi }{5}} = \cos \frac{\pi }{7} - \cos \frac{\pi }{5}\)
Chọn D
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Cho \(\int\limits^{\pi}_0\sin xdx=2\). Tính \(\int\limits^{\pi}_0\sin xdx\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(\int\limits_0^\pi {\frac{4}{3}\sin xdx} = \frac{4}{3}\int\limits_0^\pi {\sin xdx} = \frac{4}{3}.2 = \frac{8}{3}\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Tính:
a) \(\int\limits^1_0\left(x^6-4x^3+3x^2\right)dx;\) b) \(\int\limits^2_1\dfrac{1}{x^4}dx\); c) \(\int\limits^4_1\dfrac{1}{x\sqrt{x}}dx\);
d) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(4\sin x+3\cos x\right)dx\); e) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_{\dfrac{\pi}{4}}\cot^2xdx\); g) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\tan^2xdx\);
h) \(\int\limits^0_{-1}e^{-x}dx\); i) \(\int\limits^{-1}_{-2}e^{x+2}dx\); k) \(\int\limits^1_0\left(3.4^x-5e^{-x}\right)dx\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\int\limits_0^1 {({x^6} - 4{x^3} + 3{x^2})dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^7}}}{7} - {x^4} + {x^3}} \right)} \right|_0^1 = \frac{1}{7}\)
b) \(\int\limits_1^2 {\frac{1}{{{x^4}}}dx} = \left. {\left( { - \frac{1}{{3{x^3}}}} \right)} \right|_1^2 = \frac{7}{{24}}\)
c) \(\int\limits_1^4 {\frac{1}{{x\sqrt x }}dx} = \left. {\frac{{ - 2}}{{\sqrt x }}} \right|_1^4 = 1\)
d) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {(4\sin x + 3\cos x)dx} = \left. {\left( { - 4\cos x + 3\sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 7\)
e) \(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cot }^2}xdx} = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - 1} \right)dx} = \left. {\left( { - \cot x - x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} = - \frac{\pi }{2} - ( - 1 - \frac{\pi }{4}) = 1 - \frac{\pi }{4}\)
g) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}xdx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} = \left. {\left( {\tan x - x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = 1 - \frac{\pi }{4}\)
h) \(\int\limits_{ - 1}^0 {{e^{ - x}}dx} = - \left. {{e^{ - x}}} \right|_{ - 1}^0 = e - 1\)
i) \(\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {{e^{x + 2}}dx} = \left. {{e^{x + 2}}} \right|_{ - 2}^{ - 1} = e - 1\)
k) \(\int\limits_0^1 {({{3.4}^x} - 5{e^{ - x}})dx} = \left. {\left( {3.\frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + 5{e^{ - x}}} \right)} \right|_0^1 = \frac{9}{{\ln 4}} + \frac{5}{e} - 5\)
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Tính:
a) \(\int\limits^1_03^xdx;\)
b) \(\int\limits^1_0\left(2.3^x-5e^x\right)dx.\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\int\limits_0^1 {{3^x}dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_0}\end{array}} \right. = \frac{{{3^1}}}{{\ln 3}} - \frac{{{3^0}}}{{\ln 3}} = \frac{2}{{\ln 3}}\)
b) \(\int\limits_0^1 {({{2.3}^x} - 5{e^x})dx} = \int\limits_0^1 {{{2.3}^x}dx} - \int\limits_0^1 {5{e^x}dx} \)
\( = 2\int\limits_0^1 {{3^x}dx} - 5\int\limits_0^1 {{e^x}dx} = \frac{{{{2.3}^x}}}{{\ln 3}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_0}\end{array}} \right. - 5{e^x}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_0}\end{array}} \right.\)
\( = \left( {\frac{{{{2.3}^1}}}{{\ln 3}} - \frac{{{{2.3}^0}}}{{\ln 3}}} \right) - \left( {5{e^1} - 5{e^0}} \right) = \frac{4}{{\ln 3}} - 5e + 5\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Ở nhiệt độ 37 °C, một phản ứng hoá học từ chất đầu A, chuyển hoá thành chất sản phẩm B theo phương trình: A → B. Giả sử y(x) là nồng độ chất A (đơn vị mol L-1) tại thời gian x (giây), y(x) > 0 với x ≥ 0, thoả mãn hệ thức y'(x) = – 7 ∙ 10-4y(x) với x ≥ 0. Biết rằng tại x = 0, nồng độ ban đầu của chất A là 0,05 mol L– 1.
a) Xét hàm số f(x) = ln y(x) với x ≥ 0. Hãy tính f'(x), từ đó hãy tìm hàm số f(x).
b) Giả sử ta tính nồng độ trung bình chất A (đơn vị mol L-1) từ thời điểm a (giây) đến thời điểm b (giây) với 0 < a < b theo công thức \(\dfrac{1}{b-a}\int\limits^b_ay\left(x\right)dx\). Xác định nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(f(x) = \ln y(x) \Rightarrow f'(x) = \frac{{y'(x)}}{{y(x)}} = \frac{{ - {{7.10}^{ - 4}}y(x)}}{{y(x)}} = - {7.10^{ - 4}}\).
\( \Rightarrow f(x) = \int {f'(x)dx} = \int { - {{7.10}^{ - 4}}dx} = - {7.10^{ - 4}}x + C\).
Vì \(f(x) = \ln y(x)\) nên \(y(x) = {e^{f(x)}} = {e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x + C}}\).
Theo đề bài, tại x = 0 thì y(x) = 0,05 nên:
\(y(0) = 0,05 \Leftrightarrow {e^{ - {{7.10}^{ - 4}}.0 + C}} = 0,05 \Leftrightarrow {e^C} = 0,05 \Leftrightarrow C = \ln 0,05\).
Vậy \(f(x) = - {7.10^{ - 4}}x + \ln 0,05\).
b) Từ câu a) ta đã tính được \(y(x) = {e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x + \ln 0,05}}\).
Nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây:
\(\frac{1}{{30 - 15}}\int\limits_{15}^{30} {y(x)dx} = \frac{1}{{15}}\int\limits_{15}^{30} {{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x + \ln 0,05}}dx} = \frac{1}{{15}}\int\limits_{15}^{30} {{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x}}{e^{\ln 0,05}}dx} \)
\( = \frac{{{e^{\ln 0,05}}}}{{15}}\int\limits_{15}^{30} {{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x}}dx} = \frac{1}{{300}}\int\limits_{15}^{30} {{{\left( {{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}}}} \right)}^x}dx} = \frac{1}{{300}}.\frac{{{{\left( {{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}}}} \right)}^x}}}{{\ln {e^{ - {{7.10}^{ - 4}}}}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{30}\\{}\\{15}\end{array}} \right.\)
\( = \frac{1}{{300\ln {e^{ - {{7.10}^{ - 4}}}}}}.{\left( {{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}}}} \right)^x}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{30}\\{}\\{15}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \frac{{ - 100}}{{21}}\left( {{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}.30}} - {e^{ - {{7.10}^{ - 4}}.15}}} \right) \approx 0,049\) (mol \({L^{ - 1}}\)).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
a) Cho một vật chuyển động với vận tốc y = v(t) (m/s). Cho 0 < a < b và v(t) > 0 với mọi t ∈ [a; b]. Hãy giải thích vì sao \(\int\limits^b_av\left(t\right)dt\) biểu thị quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ a đến b (a, b tính theo giây).
b) Áp dụng công thức ở câu a) để giải bài toán sau: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 2 – sin t (m/s). Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 0 (giây) đến thời điểm \(\dfrac{3\pi}{4}\) (giây).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Vì vận tốc là đạo hàm của quãng đường nên \(\int\limits_a^b {v(t)dt} = \left. {s(t)} \right|_a^b\).
Do đó \(\int\limits_a^b {v(t)dt} \) biểu thị quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ a đến b.
b) Quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian đó là:\(s(t) = \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{4}} {v\left( t \right)} dt = \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{4}} {\left( {2--sint} \right)} dt = \left. {\left( {2x + \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{{3\pi }}{4}} = \frac{{3\pi }}{2} - \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2} \approx 3\) (m).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Tích phân \(\int\limits^1_0\dfrac{3^x}{2}dx\) có giá trị bằng:
A. \(-\dfrac{1}{\ln3}.\) B. \(\dfrac{1}{\ln3}.\) C. \(-1.\) D. \(1.\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(I = \int\limits_0^1 {\frac{{{3^x}}}{2}dx} = \left. {\frac{{{3^x}}}{{2\ln 3}}} \right|_0^1 = \frac{3}{{2\ln 3}} - \frac{{\mathop{\rm l}\nolimits} }{{2\ln 3}} = \frac{1}{{\ln 3}}\)
Chọn B
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
So sánh \(\int\limits^1_02xdx+\int\limits^2_12xdx\) và \(\int\limits^2_02xdx\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(\int\limits_0^1 {2xdx} + \int\limits_1^2 {2xdx} = \left. {{x^2}} \right|_0^1 + \left. {{x^2}} \right|_1^2 = 1 + 4 - 1 = 4\).
\(\int\limits_0^2 {2xdx} = \left. {{x^2}} \right|_0^2 = 4\).
Vậy \(\int\limits_0^1 {2xdx} + \int\limits_1^2 {2xdx} \) = \(\int\limits_0^2 {2xdx} \).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)