Bài 3: Tích phân

Họa sĩ thiết kế logo hình con cá cho một doanh nghiệp kinh doanh hải sản. Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho trong Hình 3 (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimét).

Làm thế nào để tính diện tích của logo?

Cho đồ thị hàm số y = f(x) = 2x (x ∈ [0; 2]). Xét tam giác vuông OAB giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) = 2x, trục Ox và đường thẳng x = 2.

a) Tính diện tích tam giác vuông OAB.

b) Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) = 2x trên đoạn [0; 2]. Tính F(2) – F(0). Từ đó hãy chứng tỏ rằng S_{tam giác vuông OAB} = F(2) – F(0).

Cho hàm số f(x) = x².

a) Chứng tỏ F(x) = \(\dfrac{x^3}{3}\); G(x) = \(\dfrac{x^3}{3}+C\) là các nguyên hàm của hàm số f(x) = x².

b) Chứng minh rằng F(b) – F(a) = G(b) – G(a), tức là hiệu số F(b) – F(a) không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm.

Tính: \(\int\limits^{\pi}_0\cos udu.\)

So sánh \(\int\limits^1_02xdx\) và \(2\int\limits^1_0xdx.\)

Cho \(\int\limits^{\pi}_0\sin xdx=2\). Tính \(\int\limits^{\pi}_0\sin xdx\).

So sánh:

a) \(\int\limits^1_0\left(2x+3\right)dx\) và \(\int\limits^1_02xdx+\int\limits^1_03dx\);

b) \(\int\limits^1_0\left(2x-3\right)dx\) và \(\int\limits^1_02xdx-\int\limits^1_03dx\).

Tính \(\int\limits^2_1\left(x^3-x\right)dx\).

So sánh \(\int\limits^1_02xdx+\int\limits^2_12xdx\) và \(\int\limits^2_02xdx\).