Bài 3. Đa giác đều và phép quay

Hướng dẫn giải

- Độ dài các cạnh của mỗi đa giác là bằng nhau.

- Số đo góc của mỗi đa giác là bằng nhau.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Các cung \(\overset\frown{MN}, \overset\frown{NP}, \overset\frown{PQ}, \overset\frown{QR}, \overset\frown{RM}\) chia đường tròn (O; R) thành 6 cung có số đo bằng nhau, suy ra số đo mỗi cung là 360^o : 5 = 72^o.

Ta có \(\widehat {MON}\) là góc nội tiếp chắn cung MN suy ra \(\widehat {MON}\) = 72^o .

Xét \(\Delta \)MON, có: OM = ON = R suy ra \(\Delta \) MON cân tại O.

Suy ra \(\widehat {OMN} = \widehat {ONM}\) (tính chất tam giác cân)

Suy ra \(\widehat {OMN} = \widehat {ONM} = \frac{{{{180}^o} - \widehat {MON}}}{2} = {54^o}\).

Tương tự, ta có \(\widehat {OPN} = \widehat {ONP} = {54^o}\).

Suy ra \(\widehat {MPN} = \widehat {ONM} + \widehat {ONP} = {54^o} + {54^o} = {108^o}\).

Xét \(\Delta \) OMN và \(\Delta \) ONP có:

 \(\widehat {MON} = \widehat {NOP}\);

 OM = OP;

 ON chung.

Suy ra  \(\Delta \) OMN = \(\Delta \) ONP (c – g – c).

Do đó, MN = NP (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự ta thu được ngũ giác MNPQR có các cạnh bằng nhau và các góc đều bằng nhau ( = 108^o).

Vậy MNPQR là một đa giác đều.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Do ABCDEF là lục giác đều nên:

\(\widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D = \widehat E = \widehat F = {120^o}\).

- AB = BC = CD = DE = EF = FA.

Vì M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, DE, EF, FA.

Suy ra AM = MB = BN = NC = CP = PD = DQ = QE = ER = RF = FS = SA.

Xét \(\Delta \) SAM và \(\Delta \) MBN có:

\(\widehat A = \widehat B\) (chứng minh trên);

 AM = BN (chứng minh trên);

 SA = MB (chứng minh trên).

Suy ra \(\Delta \) SAM = \(\Delta \) MBN  (c – g – c).

Do đó, SM = MN (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự ta được: MN = NP, NP = PQ, QR = RS, RS = SM (1).

Vì AS = AM (chứng minh trên) suy ra \(\Delta \) ASM cân tại A.

suy ra \(\widehat {ASM} = \widehat {AMS}\) (tính chất tam giác cân)

Nên \(\widehat {ASM} = \widehat {AMS} = \frac{{{{180}^o} - \widehat A}}{2} = {30^o}\) (tổng 3 góc trong của tam giác).

Tương tự ta thu được:

\(\widehat {BMN} = \widehat {BNM} = \frac{{{{180}^o} - \widehat B}}{2} = 30\);

\(\widehat {CNP} = \widehat {CPN} = \frac{{{{180}^o} - \widehat C}}{2} = {30^o}\);

\(\widehat {DPQ} = \widehat {DQP} = \frac{{{{180}^o} - \widehat D}}{2} = {30^o}\);

\(\widehat {EQR} = \widehat {ERQ} = \frac{{{{180}^o} - \widehat E}}{2} = {30^o}\);.

\(\widehat {FRS} = \widehat {FSR} = \frac{{{{180}^o} - \widehat F}}{2} = {30^o}\)

Ta có: 

\(\widehat {RSM} = {180^o} - \widehat {FRS} - \widehat {ASM} = {180^o} - {30^o} - {30^o} = {120^o}\)

Tương tự, ta được: 

\(\widehat {AMN} = \widehat {MNP} = \widehat {NQP} = \widehat {PQR} = \widehat {QRS} = {120^o}\).   (2)

Từ (1) và (2), suy ra MNPQRS là đa giác đều.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Khi điểm M trùng với B thì M vạch lên một cung tròn có số đo bằng 270^o.

b) Trong quá trình trên, hình vuông H trùng khít với hình vuông ABCD 4 lần (không tính vị trí ban đầu trước khi quay).

- Lần 1, điểm M vạch lên cung số đo 90^o.

- Lần 2, điểm M vạch lên cung số đo 180^o.

- Lần 3, điểm M vạch lên cung số đo 270^o.

- Lần 4, điểm M vạch lên cung số đo 360^o.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

I đỉnh của ngũ giác đều chia đường tròn (I) thành 5 cung bằng nhau, mỗi cung đo có số đo 72^o. Từ đó, các phép quay biến ngũ giác đều thành chính nó là các phép quay 72^o, 144^o, 216^o, 288^o hoặc 360^o tâm I cùng chiều kim đồng hồ hay ngược chiều kim đồng hồ.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

10 đỉnh của đa giác đều, 10 cạnh chia đường tròn thành 10 cung bằng nhau mỗi cung có số đo 36^o. Từ đó, các phép quay biến đa giác đều 10 cạnh thành chính nó là các phép quay 36^o, 72^o, 108^o, 144^o, 180^o, 216^o, 252^o, 288^o, 324^o, 360^o; tâm đường tròn cùng chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Hình phẳng đều trong thực tế: rubik, bàn cờ,...

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Tam giác đều. Các phép quay biến tam giác đều thành chính nó là các phép quay 120^o, 240^o hoặc 360^o tâm O cùng chiều hay ngược chiều kim đồng hồ.

b) Hình vuông. Các phép quay biến hình vuông thành chính nó là các phép quay 90^o, 180^o, 270^o, 360^o tâm I cùng chiều hay ngược chiều kim đồng hồ.

c) Ngũ giác đều. Các phép quay biến ngũ giác đều thành chính nó là các phép quay 72^o, 144^o, 216^o, 288^o, 360^o tâm A cùng chiều hay ngược chiều kim đồng hồ.

d) Lục giác đều. Các phép quay biến lục giác đều thành chính nó là các phép quay 60^o, 120^o, 180^o, 240^o, 300^o, 360^o tâm B cùng chiều hay ngược chiều kim đồng hồ.

e) Bát giác đều. Các phép quay biến bát giác đều thành chính nó là các phép quay 45^o, 90^o, 135^o, 180^o, 225^o, 270^o, 315^o, 360^o tâm C cùng chiều hay ngược chiều kim đồng hồ.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) 9 đỉnh của đa giác chia đường tròn thành 9 phần bằng nhau, số đo mỗi cung là: 360^o : 9 = 40^o.

Vì \(\widehat {AOB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB nhỏ

Suy ra \(\widehat {AOB} = {40^o}\).

Do OA = OB = R nên tam giác AOB cân tại O

Suy ra \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA} = \frac{{{{180}^o} - \widehat {AOB}}}{2} = {70^o}\).

Tương tự, ta có \(\widehat {COB} = {40^o}\).

Suy ra \(\widehat {OBC} = \widehat {OCB} = \frac{{{{180}^o} - \widehat {BOC}}}{2} = {70^o}\)

Ta có \(\widehat {ABC} = \widehat {OBA} + \widehat {OBC} = {70^o} + {70^o} = {140^o}\).

b) Các phép quay biến đa giác thành chính nó là các phép quay 40^o, 80^o, 120^o, 160^o, 200^o, 240^o, 280^o, 320^o hoặc 360^o tâm O cùng chiều hay ngược chiều kim đồng hồ.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Đường viền ngoài của chiếc đồng hồ trong Hình 13 được làm theo hình bát giác đều.

8 đỉnh của đa giác được chia thành 8 phần bằng nhau, mỗi cung có số đo 45^o. Do đó, các phép quay biến bát giác đều thành chính nó là 45^o, 90^o, 135^o, 180^o, 225^o, 270^o, 315^o, 360^o theo chiều hoặc ngược chiều kim đồng hồ.

(Trả lời bởi datcoder)