Bài 29. Tứ giác nội tiếp

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat A + \widehat C = {180^o},\widehat B + \widehat D = {180^o}\)

a) Ta có:

\(\widehat C = {180^o} - \widehat A = {180^o} - {60^o} = {120^o};\\\widehat D = {180^o} - \widehat B = {180^o} - {80^o} = {100^o}\)

b) Ta có:

\(\widehat A = {180^o} - \widehat C = {180^o} - {90^o} = {90^o};\\\widehat D = {180^o} - \widehat B = {180^o} - {70^o} = {110^o}\)

c) Ta có:

\(\widehat A = {180^o} - \widehat C = {180^o} - {100^o} = {80^o};\\\widehat B = {180^o} - \widehat D = {180^o} - {60^o} = {120^o}\)

d) Ta có:

\(\widehat B = {180^o} - \widehat D = {180^o} - {110^o} = {70^o};\\\widehat C = {180^o} - \widehat A = {180^o} - {80^o} = {100^o}\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Tứ giác ABDC nội tiếp (O) nên \(\widehat {ABD} + \widehat {ACD} = {180^o}\), mà \(\widehat {ICA} + \widehat {ACD} = {180^o}\) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {IBD} = \widehat {ICA}\)

Tứ giác ABDC nội tiếp (O) nên\(\widehat {CAB} + \widehat {CDB} = {180^o}\), mà \(\widehat {CAB} + \widehat {IAC} = {180^o}\) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {IAC} = \widehat {IDB}\)

Tam giác IAC và tam giác IDB có:

Góc I chung 

\(\widehat {ICA} = \widehat {IBD}\) (cmt).

Do đo, $\Delta IAC\backsim \Delta IDB\Rightarrow \frac{IA}{IC}=\frac{ID}{IB}\Rightarrow IA.IB=IC.ID$.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\widehat A = \widehat C\).

Mà hình bình hành ABCD nội tiếp đường tròn O nên \(\widehat A + \widehat C = 180^\circ\).

Từ đó, ta có \(\widehat A = \widehat C = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ\).

Hình bình hành ABCD có một góc vuông nên là hình chữ nhật.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Vì AB//CD nên \(\widehat A + \widehat D = {180^o}\) (hai góc trong cùng phía)

Vì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat A + \widehat C = {180^o}\)

Do đó, \(\widehat C = \widehat D\).

Hình thang ABCD có \(\widehat C = \widehat D\) nên ABCD là hình thang cân.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Xét hình chữ nhật ABCD có \(AB = 2CB\) nội tiếp đường tròn (O) bán kính 2,5cm.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên ABCD nội tiếp đường tròn (O) có đường kính \(AC = 5cm\).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B ta có:

\(A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\)

\(B{C^2} + 4B{C^2} = 25\)

\(BC = \sqrt 5 cm\) nên \(AB = 2\sqrt 5 cm\)

Vậy diện tích hình chữ nhật ABCD là:

\(S = AB.BC = \sqrt 5 .2\sqrt 5  = 10\left( {c{m^2}} \right)\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Giả sử ABCD là khung cổng hình chữ nhật (AB = CD = 3 m và AD = BC = 4 m) nội tiếp nửa đường tròn (O) (hình vẽ).

Gọi H là trung điểm của $C D$.
Khi đó $H B=H C=\frac{1}{2} B C=\frac{1}{2} \cdot 4=2(\mathrm{~m})$ và H nằm trên đường trung trực của BC.

Vì $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ cùng nằm trên nửa đường tròn $(\mathrm{O})$ nên $\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$, suy ra O nằm trên đường trung trực của $B C$.

Do đó OH là đường trung trực của đoạn thẳng BC , nên $\mathrm{OH} \perp \mathrm{BC}$.
Mà $B C / / A D$ (do $A B C D$ là hình chữ nhật) nên $O H \perp A D$.
Xét tứ giác $A B H O$ có $\widehat{O A B}=\widehat{A O H}=\widehat{O H B}=90^{\circ}$ nên ABHO là hình chữ nhật.

Do đó $\mathrm{OH}=\mathrm{AB}=3(\mathrm{~m})$.
Xét $\triangle \mathrm{OBH}$ vuông tại H , theo định lí Pythagore, ta có:
$$
\mathrm{OB}^2=\mathrm{OH}^2+\mathrm{HB}^2=3^2+2^2=13
$$

Do đó $O B=\sqrt{13} \mathrm{~m}$.
Nửa chu vi đường tròn $(\mathrm{O})$ là: $\pi \sqrt{13}(\mathrm{~m})$.
Vậy chiều dài của đoạn thép làm khung nửa đường tròn đó là: $\pi \sqrt{13}(\mathrm{~m})$.

(Trả lời bởi datcoder)