Cho tam giác nhọn ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C và H là trực tâm của tam giác đó. Hãy chỉ ra các tứ giác nội tiếp trong hình.
Bài 2. Tứ giác nội tiếp
Bài tập 2 (SGK Chân trời sáng tạo - Tập 2 - Trang 74)
Thảo luận (1)
Bài tập 3 (SGK Chân trời sáng tạo - Tập 2 - Trang 74)
Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD trong mỗi trường hợp sau:
a) AB = 6 cm, BC = 8 cm; b) AC = 9cm.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Tâm O của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, bán kính R = OA = OB = OC = OD = \(\frac{{AC}}{2}\).
a) Ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} \) (Định lý Pytagore)
\(AC = \sqrt {{6^2} + {8^2}} \) = 10 cm.
Suy ra R = \(\frac{{AC}}{2} = \frac{{10}}{2} = 5\) cm.
b) \(R = \frac{{AC}}{2} = \frac{9}{2} = 4,5\)cm.
(Trả lời bởi datcoder)
Bài tập 4 (SGK Chân trời sáng tạo - Tập 2 - Trang 74)
Cho hình vuông MNPQ nội tiếp đường tròn bán kính R. Tính độ dài cạnh và đường chéo của hình vuông theo R.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Vì hình vuông MNPQ nội tiếp. O là giao điểm của MP và NQ
Suy ra R = OM = \(\frac{{MP}}{2}\). Do đó MP = 2R.
Ta có MN2 = OM2 + ON2 = R2 + R2 = 2R2
Suy ra MN = \(R\sqrt 2 \).
(Trả lời bởi datcoder)
Bài tập 5 (SGK Chân trời sáng tạo - Tập 2 - Trang 74)
Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến MBC và tiếp tuyến Mt tiếp xúc với (O) tại A. Gọi I là trung điểm của dây BC. Chứng minh AMIO là một tứ giác nội tiếp.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
O là trung điểm BC
Và OI cắt BC tại O
Suy ra OI \( \bot \) BC tại O (theo định lí đường kính – dây cung)
Suy ra \(\widehat {IOM} = {90^o}\)
Xét tứ giác AMIO ta có:
\(\widehat {IOM} + \widehat {IAM} = {90^o} + {90^o} = {180^o}\)
Do đó tứ giác AMIO nội tiếp.
(Trả lời bởi datcoder)
Bài tập 6 (SGK Chân trời sáng tạo - Tập 2 - Trang 74)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M bất kì trên đoạn AC, đường tròn đường kính CM cắt hai đường thẳng BM và BC lần lượt tại D và N. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp;
b) Các đường thẳng AB, MN, CD cùng đi qua một điểm.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
a) Xét đường tròn đường kính MC có \(\widehat{MDC}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Ta có ∆BAC vuông tại A và ∆BDC vuông tại D cùng nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Suy ra ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC.
b) Xét đường tròn đường kính MC có \(\widehat{MNC}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Xét ∆MBC có NC ⊥ MN, suy ra BC ⊥ MN; MC ⊥ AB; MB ⊥ CD.
Hay MN, AB, CD là các đường cao trong ∆MBC.
Khi đó, MN, AB, CD cùng đi qua một điểm (trực tâm H).
(Trả lời bởi datcoder)
Bài tập 7 (SGK Chân trời sáng tạo - Tập 2 - Trang 74)
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Góc vuông xAy thay đổi sao cho tia Ax cắt đoạn thẳng BC tại M và tia Ay cắt đoạn thẳng CD kéo dài tại N.
a) Chứng minh hai tam giác ABM và ADN bằng nhau.
b) Gọi O là trung điểm của MN. Chứng minh ABMO và ANDO là các tứ giác nội tiếp.
c) Chứng minh ba điểm B, D, O thẳng hàng.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
a) Xét \(\Delta \)ABM và \(\Delta \)ADN ta có:
AB = AD
\(\widehat {ABM} = \widehat {ADN}( = {90^o})\)
\(\widehat {BAM} = \widehat {NAD}\)(cùng phụ với \(\widehat {DAM}\))
Do đó \(\Delta \)ABM = \(\Delta \)ADN (g.c.g)
b) Ta có AM = AN (do \(\Delta \)ABM = \(\Delta \)ADN)
Suy ra \(\Delta \) AMN cân tại A
Mà AO cũng là đường trung tuyến (O là trung điểm của NM)
Nên AO cũng là đường cao suy ra AO \( \bot \) NM tại O.
Xét tứ giác ABMO có \(\widehat {ABM} + \widehat {AOM} = {90^o} + {90^o} = {180^o}\) nên tứ giác ABMO nội tiếp.
Xét tứ giác ADNO có \(\widehat {ADN} = {90^o}\left( {AD \bot CN} \right),\widehat {AON} = {90^o}(AO \bot MN)\)
Suy ra D, O thuộc đường tròn đường kính AN.
Vậy tứ giác ADNO nội tiếp.
c) Tứ giác AMCN có: \(\widehat {MAN} + \widehat {MCN} = {90^o} + {90^o} = {180^o}\) nên nội tiếp.
Mà \(\widehat {MAN} = {90^o}\)
Do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMCN.
Suy ra OA = OC
Mà DA = DC, BA = BC (tứ giác ABCD là hình vuông).
Do đó B, D, O cùng thuộc trung trực của đoạn thẳng AC.
Vậy ba điểm B, D, O thẳng hàng.
(Trả lời bởi datcoder)
