Bài 2: Toạ độ của vectơ

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có A(1; 2; 3). Do đó, \(\overrightarrow{OA}=1;2;3\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Gọi A(x;y;z).

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên \(\overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'D'} + \overrightarrow {A'A} = \overrightarrow {A'C} \).

Ta có \(\overrightarrow {A'B'} = (1;1;1)\), \(\overrightarrow {A'D'} = (0; - 1;0)\), \(\overrightarrow {A'A} = (x - 1;y;z - 1)\), \(\overrightarrow {A'C} = (3;5; - 6)\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}1 + 0 + (x - 1) = 3\\1 - 1 + y = 5\\1 + 0 + (z - 1) = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 5\\z = - 6\end{array} \right. \Rightarrow A(3;5; - 6)\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C Gọi tọa độ điểm C là \(\left(x_{c};y_{c};z_{c}\right)\) , ta có \(\overrightarrow{AC}=\left(x_{c}-1;y_{c}-1;z_{c}-1\right)\)

Với \(\overrightarrow{u}=4;2;3\) thì ta có: \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{u}\lrArr\begin{cases}x_{c}-1=4\\ y_{c}-1=2\\ z_{c}-1=3\end{cases}\lrArr\begin{cases}x_{c}=5\\ y_{c}=3\\ z_{c}=4\end{cases}\)

Vậy C(5; 3; 4).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}\) mà \(\overrightarrow{u}=-1;4;2\) do đó \(\overrightarrow{OA}\) =-1; 4; 2

=> A(-1; 4; 2)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Với A(1; – 1; 2) và B(4; – 3; 1), ta có

\(\overrightarrow{AB}\) = (4 – 1; – 3 – (– 1); 1 – 2) = (3; – 2; – 1).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Tọa độ của các điểm \({A_1},{A_2},{A_3}\) sẽ là:

\({A_1}\) (hình chiếu của \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\)): \({A_1}\left( {3; - 2;0} \right)\)

\({A_2}\) (hình chiếu của \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\)): \({A_2}\left( {0; - 2; - 1} \right)\)

\({A_3}\) (hình chiếu của \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {Ozx} \right)\)): \({A_3}\left( {3;0; - 1} \right)\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (5 - 4;7 - 6; - 4 + 5) = (1;1;1)\).

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên ABCD là hình bình hành. Do đó \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 - {x_D} = 1}\\{6 - {y_D} = 1}\\{ - 4 - {z_D} = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_D} = 4}\\{{y_D} = 5}\\{{z_D} = - 5}\end{array}} \right.\)

Vậy D(4;5;-5).

Ta có: \(\overrightarrow {DD'} = (2 - 4;0 - 5;2 + 5) = ( - 2; - 5;7)\).

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên A’ADD’ là hình bình hành. Do đó \(\overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AA'} \).

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{A'}} - 4 = - 2}\\{{y_{A'}} - 6 = - 5}\\{{z_{A'}} + 5 = 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{A'}} = 2}\\{{y_{A'}} = 1}\\{{z_{A'}} = 2}\end{array}} \right.\)

Vậy A’(2;1;2).

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên B’BDD’ là hình bình hành. Do đó \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {DD'} \).

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{B'}} - 5 = - 2}\\{{y_{B'}} - 7 = - 5}\\{{z_{B'}} + 4 = 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{B'}} = 3}\\{{y_{B'}} = 2}\\{{z_{B'}} = 3}\end{array}} \right.\)

Vậy B’(3;2;3).

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên C’CDD’ là hình bình hành. Do đó \(\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {DD'} \).

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{C'}} - 5 = - 2}\\{{y_{C'}} - 6 = - 5}\\{{z_{C'}} + 4 = 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{C'}} = 3}\\{{y_{C'}} = 1}\\{{z_{C'}} = 3}\end{array}} \right.\)

Vậy C’(3;1;3).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Đầu tiên, chúng ta cần xác định vị trí ban đầu của camera, điểm \({K_0}\). Vì\(\;{K_0}M = {K_0}N = {K_0}P = {K_0}Q\), nghĩa là \({K_0}\) nằm ở trung tâm của hình hộp chữ nhật tạo bởi \(M,N,P,Q\). Do đó, tọa độ của \({K_0}\) sẽ là trung bình cộng của tọa độ của \(M,N,P,Q\).

Tọa độ của \({K_0}\) sẽ là:

\({K_0} = \left( {\frac{{90 + 90 + 0 + 0}}{4},\frac{{0 + 120 + 120 + 0}}{4},25} \right) = \left( {45,60,25} \right)\)

Tiếp theo, chúng ta cần xác định vị trí của camera sau khi nó được hạ xuống, điểm \({K_1}\). Vì camera được hạ theo phương thẳng đứng, nên tọa độ x và y của \({K_1}\) sẽ giống như \({K_0}\), chỉ có tọa độ z (cao độ) thay đổi.

Vậy tọa độ của\(\;{K_1}\) sẽ là: \({K_1}\left( {45,60,19} \right)\)

Cuối cùng, vector từ \({K_0}\) đến \({K_1}\), \(\overrightarrow {{K_0}{K_1}} \), sẽ là:

\(\overrightarrow {{K_0}{K_1}} = \;{K_1} - {K_0} = \left( {0,0,19 - 25} \right) = \left( {0,0, - 6} \right)\)

Vậy, điểm ban đầu của camera là \({K_0}\left( {45,\;60,\;25} \right)\), điểm sau khi camera được hạ xuống là \({K_1}\left( {45,\;60,\;19} \right)\) và vector từ \({K_0}\) đến \({K_1}\) là \(\overrightarrow {{K_0}{K_1}} \left( {0,0, - 6} \right).\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Hình chiếu của \(A\) trên trục \(Ox\) (điểm \(H\)): \(H\left( { - 2;0;0} \right)\)

Hình chiếu của \(A\) trên trục \(Oy\) (điểm \(K\)): \(K\left( {0;3;0} \right)\)

Hình chiếu của \(A\) trên trục \(Oz\) (điểm \(P\)): \(P\left( {0;0;4} \right)\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\overrightarrow{u}=-2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}=-2\overrightarrow{i}-1\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}\)

Do đó \(\overrightarrow{u}=-2;-1;3\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)