Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

Hướng dẫn giải

Sau bài học này, ta trả lời được câu hỏi trên như sau:
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.
Các phép toán về vectơ trong không gian:
- Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian
+ Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$.
+ Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$.
+ Quy tắc hình hộp: Nếu $A B C D \cdot A^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ là hình hộp thì $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{AA}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}^{\prime}}$
+ Quy tắc hiệu: $\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{BA}}$.
- Tích của một số với một vectơ trong không gian: ...
- Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: ...

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a,

-  Vecto là một đoạn thẳng có hướng

- Giá của vecto là đường thẳng chứa vecto đó

- Độ dài của vecto là khoảng cách của hai diểm đầu và cuối của vecto

- Hai vecto cùng phương là hai vecto mà giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

- Hai vecto cùng hướng là hai vecto cùng phương nhưng có hướng khác nhau.

b,  Vecto - không là vecto có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau

c,

-        2 vectơ bằng nhau là 2 vectơ cùng hướng (cùng phương, cùng chiều) và độ lớn bằng nhau

-        2 vectơ đối nhau là 2 vectơ ngược hướng (cùng phương , ngược chiều) và độ lớn bằng nhau

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Do các vectơ $\overrightarrow{B B^{\prime}}, \overrightarrow{C C^{\prime}}, \overrightarrow{D D^{\prime}}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{A A^{\prime}}$ và $\mathrm{AA}^{\prime}=\mathrm{BB}^{\prime}=\mathrm{CC}^{\prime}=$ $\mathrm{DD}^{\prime}$ (tính chất hình hộp) nên $\overrightarrow{\mathrm{AA}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{CC}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{DD}^{\prime}}$. Vậy ba vectơ $\overrightarrow{B B^{\prime}}, \overrightarrow{C C^{\prime}}, \overrightarrow{D D^{\prime}}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và bằng vectơ $\overrightarrow{A A^{\prime}}$.
b) Do các vectơ $\overrightarrow{B^{\prime} B}, \overrightarrow{C^{\prime} C}, \overrightarrow{D^{\prime} D}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{A A^{\prime}}$ và $\mathrm{AA}^{\prime}=\mathrm{BB}^{\prime}=\mathrm{CC}^{\prime}$ $=D^{\prime}$ (tính chất hình hộp) nên ba vectơ $\overrightarrow{B^{\prime} B}, \overrightarrow{C^{\prime} C}, \overrightarrow{D^{\prime} D}$ là ba vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{A A^{\prime}}$

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a)

– Qua A vẽ một đường thẳng song song với \(\vec a\). Trên đường thẳng đó lấy điểm B sao cho \(AB = \left| {\vec a} \right|\) và \(\overrightarrow {AB}\) cùng hướng với \({\vec a}\).

– Qua B vẽ một đường thẳng song song với \(\vec b\). Trên đườ ng thẳng đó lấy điểm C sao cho \(BC = \left| {\vec b} \right|\) và \(\overrightarrow {BC}\) cùng hướng với \({\vec b}\).

b) Ta có: \(\vec a + \vec b = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Áp dụng quy tắc ba điểm ta thấy:

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BD} \)               (1)

Mà từ hình vẽ ta thấy  \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AC} \;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)\)

Từ (1) (2) => \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

\(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {A'C} \)                  (3)

Mà \(\overrightarrow {A'C}  = \overrightarrow {AC'} \)                     (4)

Từ (3), (4) suy ra \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AC'} \)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

\( \vec{a}\) + (\( - \vec{b}) =\) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MN} \) (quy tắc hình bình hành).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Cho số thực \(k \ne 0\) và \(vecto\;\vec a \ne \vec 0\). Tích của số k với vecto \(\vec a\) là một vecto, kí hiệu là \(k\vec a,\;\)được xác định như sau:

- Cùng hướng với vecto \(\vec a\) nếu k > 0, ngược hướng với vecto \(\vec a\) nếu k < 0.

- Có độ dài bằng \(\left| k \right|.\left| {\vec a} \right|\).

(Trả lời bởi datcoder)