Một ô tô đang di chuyển với vận tốc 20 m/s thì hãm phanh nên tốc độ (m/s) của xe thay đổi theo thời gian t (giây) được tính theo công thức v(t) = 20 – 5t (0 ≤ t ≤ 4).
Kể từ khi hãm phanh đến khi dừng, ô tô đi được quãng đường bao nhiêu?
Một ô tô đang di chuyển với vận tốc 20 m/s thì hãm phanh nên tốc độ (m/s) của xe thay đổi theo thời gian t (giây) được tính theo công thức v(t) = 20 – 5t (0 ≤ t ≤ 4).
Kể từ khi hãm phanh đến khi dừng, ô tô đi được quãng đường bao nhiêu?
Tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits^4_{-2}\left(x+1\right)\left(x-1\right)dx;\) b) \(\int\limits^2_1\dfrac{x^2-2x+1}{x}dx;\) c) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(3\sin x-2\right)dx;\) d) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\dfrac{\sin^2x}{1+\cos x}dx.\)
Tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits^4_{-2}\left(x+1\right)\left(x-1\right)dx;\) b) \(\int\limits^2_1\dfrac{x^2-2x+1}{x}dx;\) c) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(3\sin x-2\right)dx;\) d) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\dfrac{\sin^2x}{1+\cos x}dx.\)
Tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits^1_{-2}\left|2x+2\right|dx;\) b) \(\int\limits^4_0\left|x^2-4\right|dx;\) c) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_{-\dfrac{\pi}{2}}\left|\sin x\right|dx\).
Mặt cắt ngang của một ống dẫn khí nóng là hình vành khuyên như Hình 9. Khí bên trong ống được duy trì ở 150°C. Biết rằng nhiệt độ T(°C) tại điểm A trên thành ống là hàm số của khoảng cách x (cm) từ A đến tâm của mặt cắt và T′(x) = \(-\dfrac{30}{x}\) (6 ≤ x ≤ 8).
(Nguồn: Y.A.Cengel, A.I.Gahjar, Heat and Mass Transfer, McGraw Hill, 2015)
Tìm nhiệt độ mặt ngoài của ống.
Giả sử tốc độ v (m/s) của một thang máy di chuyển từ tầng 1 lên tầng cao nhất theo thời gian t (giây) được cho bởi công thức:
\(\left\{{}\begin{matrix}t,\text{ }0\le t\le2,\\2,\text{ }2< t\le20,\\12-0,5t,\text{ }20< t\le24.\end{matrix}\right.\)
Tính quãng đường chuyển động và tốc độ trung bình của thang máy.
Cho hàm số y = f(x) = x + 1. Với mỗi x ≥ 1, kí hiệu S(x) là diện tích của hình thang giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng vuông góc với Ox tại các điểm có hoành độ 1 và x.
a) Tính S(3).
b) Tính S(x) với mỗi x ≥ 1.
c) Tính S'(x). Từ đó suy ra S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [1; +∞).
d) Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Chứng tỏ rằng F(3) – F(1) = S(3). Từ đó nhận xét về cách tính S(3) khi biết một nguyên hàm của f(x).
Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) = ex, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 1 (Hình 4).
Cho hàm số f(x) = 2x – 1. Lấy hai nguyên hàm tùy ý F(x) và G(x) của f(x), rồi tính F(3) – F(0) và G(3) – G(0). Nhận xét về kết quả nhận được.
Tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits^3_12xdx;\) b) \(\int\limits^{\pi}_0\sin tdt;\) c) \(\int\limits^{\ln2}_0e^udu.\)