Cho hàm số \(f\left( x \right) = x\) có đồ thị như ở Hình 9. Quan sát đồ thị đó và cho biết:
a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì \(f\left( x \right)\) dần tới đâu.
b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì \(f\left( x \right)\) dần đâu.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = x\) có đồ thị như ở Hình 9. Quan sát đồ thị đó và cho biết:
a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì \(f\left( x \right)\) dần tới đâu.
b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì \(f\left( x \right)\) dần đâu.
Tính: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^4}.\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^4} = + \infty \)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} {x^2};\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 5}}.\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} {x^2};\)
Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thỏa mãn \(\lim {x_n} = - 3.\)
Ta có \(\lim x_n^2 = {\left( { - 3} \right)^2} = 9\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} {x^2} = 9.\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 5}}.\)
Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thỏa mãn \(\lim {x_n} = 5.\)
Ta có \(\lim \frac{{{x_n}^2 - 25}}{{{x_n} - 5}} = \lim \frac{{\left( {{x_n} - 5} \right)\left( {{x_n} + 5} \right)}}{{{x_n} - 5}} = \lim \left( {{x_n} + 5} \right) = \lim {x_n} + 5 = 5 + 5 = 10\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 5}} = 10.\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Biết rằng hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = 3\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = 5.\) Trong trường hợp này có tồn tại giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\) hay không? Giải thích.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiVì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = 3 \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = 5\) nên không tồn tại giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} - 4x + 3} \right);\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x - 3}};\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}}.\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} - 4x + 3} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {4x} \right) + 3 = {2^2} - 4.2 + 3 = - 1\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {x - 2} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} x - 2 = 3 - 2 = 1\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt x + 1}} = \frac{1}{{\sqrt 1 + 1}} = \frac{1}{2}\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{9x + 1}}{{3x - 4}};\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{7x - 11}}{{2x + 3}};\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x};\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x};\)
e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} \frac{1}{{x - 6}};\)
g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {7^ + }} \frac{1}{{x - 7}}.\)
Thảo luận (2)Hướng dẫn giảia) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{9x + 1}}{{3x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {9 + \frac{1}{x}} \right)}}{{x\left( {3 - \frac{4}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{9 + \frac{1}{x}}}{{3 - \frac{4}{x}}} = \frac{{9 + 0}}{{3 - 0}} = 3\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{7x - 11}}{{2x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x\left( {7 - \frac{{11}}{x}} \right)}}{{x\left( {2 + \frac{3}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{7 - \frac{{11}}{x}}}{{2 + \frac{3}{x}}} = \frac{{7 - 0}}{{2 + 0}} = \frac{7}{2}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} = \sqrt {1 + 0} = 1\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Một công ty sản xuất máy tính đã xác định được rằng, tính trung bình một nhân viên có thể lắp ráp được \(N\left( t \right) = \frac{{50t}}{{t + 4}}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) bộ phận mỗi ngày sau t ngày đào tạo. Tính \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } N\left( t \right)\) và cho biết ý nghĩa của kết quả.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } N\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{50t}}{{t + 4}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{50t}}{{t\left( {1 + \frac{4}{t}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{50}}{{1 + \frac{4}{t}}} = \frac{{50}}{{1 + 0}} = 50\)
Vậy khi số ngày đào tạo càng nhiều thì số bộ phận mà trung bình một nhân viên có thể lắp ráp được mỗi ngày tối đa 50 bộ phận.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số: C(x) = 50 000 + 105x.
a) Tính chi phí trung bình \(\overline C \left( x \right)\) để sản xuất một sản phẩm.
b) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \overline C \left( x \right)\) và cho biết ý nghĩa của kết quả.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\overline C \left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x} = \frac{{50000 + 105x}}{x}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \overline C \left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{50000 + 105x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {\frac{{50000}}{x} + 105} \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{50000}}{x} + 105} \right) = 0 + 105 = 105\)
Vậy khi số sản phẩm càng lớn thì chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm tối đa 105 (nghìn đồng).
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)