Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Hướng dẫn giải

a) Có $y^{\prime}=3 x^2-12 ; y^{\prime}=0$ Û $x=2$ hoặc $x=-2$ (loại vì $x \in[-1 ; 3]$ ).

Có $y(-1)=12 ; y(2)=-15 ; y(3)=-8$.
Vậy $\min _{[-1 ; 3]} y=y(2)=-15 ; \max _{[-1 ; 3]} y=y(-1)=12$.
b) Có $y^{\prime}=-3 x^2+48 x-180 ; y^{\prime}=0 \hat{U} x=6$ hoặc $x=10$.

Có $y(3)=49 ; y(6)=-32 ; y(10)=0 ; y(11)=-7$.
Vậy $\min _{[3 ; 11]} y=y(6)=-32 ; \max _{[3 ; 11]} y=y(3)=49$.
c) Có $y^{\prime}=\frac{2(x-2)-(2 x+1)}{(x-2)^2}=-\frac{5}{(x-2)^2}<0, \forall x \in[3 ; 7]$.

Có $y(3)=7 ; y(7)=3$.
Vậy $\min _{[3 ; 7]} y=y(7)=3 ; \max _{[3 ; 7]} y=y(3)=7$.
d) Có $\mathrm{y}^{\prime}=2 \cos 2 \mathrm{x} ; \mathrm{y}^{\prime}=0 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}$ vì $\mathrm{x} \in\left[0 ; \frac{7 \pi}{12}\right]$.

Có $\mathrm{y}(0)=0 ; y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 ; y\left(\frac{7 \pi}{12}\right)=-\frac{1}{2}$
Vậy $\min _{\left[0 ; \frac{7 \pi}{12}\right]} y=y\left(\frac{7 \pi}{12}\right)=-\frac{1}{2} ; \max _{\left[0 ; \frac{7 \pi}{12}\right]} y=y(0)=y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Xét \(y = {x^3} - 3x - 4\) trên nửa khoảng [-3;2)

\(y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[ - 3;2)} y = y( - 3) =  - 22\), \(\mathop {\max }\limits_{[ - 3;2)} y = y( - 1) =  - 2\).

b) Xét \(y = \frac{{3{x^2} - 4x}}{{{x^2} - 1}}\) trên khoảng \(( - 1; + \infty )\)

Tập xác định: \(D = ( - 1; + \infty )\)

\(y' = \frac{{4{x^2} - 6x + 4}}{{{{({x^2} - 1)}^2}}} > 0, \forall x \in D\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số không tồn tại giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(( - 1; + \infty )\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) \(h(x)\)đạt giá trị cực đại tại x = 0 và \(\mathop {\max h(x)}\limits_{[ - 1;3]}  = h(0) = 3\)

b) \(\mathop {\max f(x)}\limits_{[ - 1;3]}  = f(3) = \frac{9}{2}\) và \(\mathop {\max g(x)}\limits_{[ - 1;3]}  = g(2) = 2\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a)  Từ đồ thị, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{[1;6]} f(x) = f(1) = 6\) và \(\mathop {\min }\limits_{[1;6]} f(x) = f(5) = 1\)

b) Từ đồ thị, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[ - 3;3]} g(x) = g( - 3) = g( - 1) = 1\) và \(\mathop {\max }\limits_{[ - 3;3]} g(x) = g(1) = 7\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Xét \(g(x) = x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên đoạn [1;4]

\(g'(x) = 1 - \frac{8}{{{x^3}}} = 0 \Leftrightarrow x = 2\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[1;4]} g(x) = g(2) = 3\) và \(\mathop {\max }\limits_{[1;4]} g(x) = g(1) = 5\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Xét \(y(t) = 5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}\) trên nửa đoạn \([0; + \infty )\)

\(y'(t) = \frac{{135{t^2} - 15}}{{{{(9{t^2} + 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\x =  - \frac{1}{3}(loai)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[0; + \infty )} y(t) = y(\frac{1}{3}) =  - \frac{5}{2}\) và \(\mathop {\max }\limits_{[0; + \infty )} y(t) = y(0) = 5\)

Vậy vào các thời điểm t = 0 thì nồng độ oxygen trong nước cao nhất và t = \(\frac{1}{3}\) giờ thì nồng độ oxygen trong nước thấp nhất

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Khẳng định đúng là iii) vì nhìn hình ta thấy điểm cao nhất của đồ thị là \(34^\circ C\)

b) Thời điểm có nhiệt độ cao nhất trong ngày (\(34^\circ C\)) là lúc 16 giờ

c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là \(20^\circ C\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Xét \(f(x) = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x + 1\) trên đoạn [0;3]

\(f'(x) = 6{x^2} - 18x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\)

 Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[0;3]} f(x) = f(0) = 1\) và \(\mathop {\max }\limits_{[0;3]} f(x) = f(3) = 10\)

b) Xét \(g(x) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng (0;5)

\(g'(x) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1(loai)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{(0;5)} f(x) = f(1) = 2\) và hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất trên khoảng (0;5)

c) Xét \(h(x) = x\sqrt {2 - {x^2}} \)

Tập xác định: \(D = [ - \sqrt 2 ;\sqrt 2 ]\)

\(h'(x) = \sqrt {2 - {x^2}}  - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {2 - {x^2}} }}\)

Tập xác định mới: \({D_1} = ( - \sqrt 2 ;\sqrt 2 )\)

\(h'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_D f(x) = f( - 1) =  - 1\) và \(\mathop {\max }\limits_D f(x) = f(1) = 1\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Đặt một cạnh góc vuông là x (x > 0) thì cạnh còn lại là \(\sqrt {25 - {x^2}} \)

Diện tích tam giác vuông là: \(f(x) = \frac{{1}}{2} x\sqrt {25 - {x^2}} \)

Tập xác định: \(D = (0; 5 )\)

\(f'(x) = \frac{{1}}{2}\sqrt {25 - {x^2}}  - \frac{{1}}{2}. \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {25 - {x^2}} }}\)

Tập xác định mới: \({D_1} = (0; 5 )\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\sqrt {2} }}{2}\\x =  - \frac{{5\sqrt {2} }}{2}(loại)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_D f(x) = f(\frac{{5\sqrt {2} }}{2}) = \frac{25}{4}\).

Vậy diện tích lớn nhất của tam giác là \(\frac{25}{4}\).

(Trả lời bởi datcoder)