Xét hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = f(x) = x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = −2; x = 1 (H.4.12).
a) Tính diện tích S của hình phẳng này.
b) Tính \(\int\limits^1_{-2}\left|f\left(x\right)\right|dx\) và so sánh với S.
Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân
Hoạt động 1 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 19)
Thảo luận (0)
Luyện tập 1 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 20)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x2 – 4, trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 3 (H.4.15).
Hoạt động 2 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 20)
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số f(x) −x2 + 4x, g(x) x và hai đường thẳng x 1, x 3 (H.4.16).a) Giả sử S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y −x2 + 4x, trục hoành và hai đường thẳng x 1, x 3; S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y x, trục hoành và hai đường thẳng x 1, x 3. Tính S1, S2 và từ đó suy ra S.b) Tính intlimits^3_1left|fleft(xright)-gleft(xright)right|dx và so sánh với S.
Đọc tiếp
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số f(x) = −x2 + 4x, g(x) = x và hai đường thẳng x = 1, x = 3 (H.4.16).
a) Giả sử S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = −x2 + 4x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3; S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3. Tính S1, S2 và từ đó suy ra S.
b) Tính \(\int\limits^3_1\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx\) và so sánh với S.
Luyện tập 2 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 21)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = \(\sqrt{x}\), y = x – 2 và hai đường thẳng x = 1, x = 4.
Vận dụng 1 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 22)
Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá p của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá p của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất. Điểm cắt nhau (x0; p0) của đồ thị hàm cầu p D(x) và đồ thị hàm cung p S(x) được gọi là điểm cân bằng.Các nhà kinh tế gọi diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang p p0 và đường thẳng đứng x 0 là thặng dư tiêu dùng. Tương tự, diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm cung, đường nằm n...
Đọc tiếp
Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá p của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá p của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất. Điểm cắt nhau (x0; p0) của đồ thị hàm cầu p = D(x) và đồ thị hàm cung p = S(x) được gọi là điểm cân bằng.
Các nhà kinh tế gọi diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang p = p0 và đường thẳng đứng x = 0 là thặng dư tiêu dùng. Tương tự, diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm cung, đường nằm ngang p = p0 và đường thẳng đứng x = 0 được gọi là thặng dư sản xuất, như trong Hình 4.19.
(Theo R.Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009).
Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hóa bởi:
Hàm cầu: p = −0,36x + 9 và hàm cung: p = 0,14x + 2, trong đó x là số đơn vị sản phẩm. Tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất cho sản phẩm này.
Hoạt động 3 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 22)
Xét hình trụ có bán kính đáy R, có trục là trục hoành Ox, nằm giữa hai mặt phẳng x a và x b (a b) (H.4.20).a) Tính thể tích V của hình trụ.b) Tính diện tích mặt cắt S(x) khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x (a ≤ x ≤ b). Từ đó tính intlimits^b_aSleft(xright)dx và so sánh với V.
Đọc tiếp
Xét hình trụ có bán kính đáy R, có trục là trục hoành Ox, nằm giữa hai mặt phẳng x = a và x = b (a < b) (H.4.20).
a) Tính thể tích V của hình trụ.
b) Tính diện tích mặt cắt S(x) khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x (a ≤ x ≤ b). Từ đó tính \(\int\limits^b_aS\left(x\right)dx\) và so sánh với V.
Vận dụng 2 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 23)
Tính thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy là S0, S1 và chiều cao bằng h (H.4.24). Từ đó suy ra công thức tính thể tích khối chóp đều có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h.
Hoạt động 4 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 24)
Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yfleft(xright)dfrac{1}{2}x, trục hoành và hai đường thẳng x 0, x 4. Khi quay hình phẳng này xung quanh trục hoành Ox ta được khối nón có đỉnh là gốc O, trục là Ox và đáy là hình tròn bán kính bằng 2 (H.4.25).a) Tính thể tích V của khối nón.b) Chứng minh rằng khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x (0 ≤ x ≤ 4) thì mặt cắt thu được là một hình tròn có bán kính là f(x), do đó diện tích mặt cắt là S(x) πf2(x).Tí...
Đọc tiếp
Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x\), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 4. Khi quay hình phẳng này xung quanh trục hoành Ox ta được khối nón có đỉnh là gốc O, trục là Ox và đáy là hình tròn bán kính bằng 2 (H.4.25).
a) Tính thể tích V của khối nón.
b) Chứng minh rằng khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x (0 ≤ x ≤ 4) thì mặt cắt thu được là một hình tròn có bán kính là f(x), do đó diện tích mặt cắt là S(x) = πf2(x).
Tính \(\pi\int\limits^4_0f^2\left(x\right)dx\) và so sánh với V.
Vận dụng 3 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 25)
a) Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang vuông OABC trong mặt phẳng Oxy với OA = h, AB = R và OC = r, quanh trục Ox (H.4.28).
b) Từ công thức thu được ở phần a, hãy rút ra công thức tính thể tích của khối nón có bán kính đáy bằng R và chiều cao h.
Bài 4.14 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 25)
Tính diện tích của hình phẳng được tô màu trong Hình 4.29.
