Cho tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30° và cạnh đối với góc này bằng 5 cm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác.
Bài 11. Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Bài tập 4.3 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Tập 1 - Trang 73)
Thảo luận (1)
Bài tập 4.1 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Tập 1 - Trang 73)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính các tỉ số lượng giác sin, coossin, tang, cotang của các góc nhọn B và C khi biết:
a) AB = 8 cm, BC = 17 cm;
b) AC = 0,9 cm, AB = 1,2 cm.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
a)
Tam giác ABC vuông tại A nên ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) (Định lý Pythagore)
Thay số ta có \({17^2} = {8^2} + A{C^2}\) hay \(A{C^2} = {17^2} - {8^2} = 225\) suy ra \(AC = 15\) cm (vì \(AC > 0\))
Ta có: \(\sin \widehat B = \cos \widehat C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{15}}{{17}}\)
\(\cos \widehat B = \sin \widehat C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{8}{{17}}\)
\(\tan \widehat B = \cot \widehat C = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{15}}{8}\)
\(\cot \widehat B = \tan \widehat C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{8}{{15}}\)
b)
Tam giác ABC vuông tại A nên ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) (Định lý Pythagore)
Thay số ta có \(B{C^2} = 1,{2^2} + 0,{9^2} = 2,25\) hay \(CB = \sqrt {2,25} = 1,5\) cm (vì \(BC > 0\))
Ta có: \(\sin \widehat B = \cos \widehat C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{0,9}}{{1,5}} = \frac{3}{5}\)
\(\cos \widehat B = \sin \widehat C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{1,2}}{{1,5}} = \frac{4}{5}\)
\(\tan \widehat B = \cot \widehat C = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{0,9}}{{1,2}} = \frac{3}{4}\)
\(\cot \widehat B = \tan \widehat C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{1,2}}{{0,9}} = \frac{4}{3}\)
(Trả lời bởi datcoder)
Hoạt động 4 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Tập 1 - Trang 70)
Cho tam giác ABC vuông tại C, có \(\widehat{A}\) = α, \(\widehat{B}\) = β (H.4.9). Hãy viết các tỉ số lượng giác của góc α, β theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Trong các tỉ số đó, cho biết các cặp tỉ số bằng nhau.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có:
\(\sin \alpha = \frac{{BC}}{{AB}};\) \(\cos \alpha = \frac{{AC}}{{AB}};\) \(\tan \alpha = \frac{{BC}}{{AC}};\) \(\cot \alpha = \frac{{AC}}{{BC}}\)
\(\sin \beta = \frac{{AC}}{{AB}};\) \(\cos \beta = \frac{{BC}}{{AB}};\) \(\tan \beta = \frac{{AC}}{{BC}};\) \(\cot \beta = \frac{{BC}}{{AC}}\)
Từ đó ta có
\(\sin \alpha = \cos \beta ;\) \(\cos \alpha = \sin \beta ;\) \(\tan \alpha = \cot \beta ;\) \(\cot \alpha = \tan \beta .\)
(Trả lời bởi datcoder)
Bài tập 4.5 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Tập 1 - Trang 73)
a) Viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45°:
sin55°, cos62°, tan57°, cot64°.
b) Tính \(\dfrac{\tan25^o}{\cot65^o}\); tan 34o - cot 56o.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\sin {55^0} = \cos {35^0}; \)
\(\cos {62^0} = \sin {28^0}; \)
\(\tan {57^0} = \cot {33^0}; \)
\(\cot {64^0} = \tan {26^0}\)
b) \(\frac{{\tan {{25}^0}}}{{\cot {{65}^0}}} = \frac{{\tan {{25}^0}}}{{\tan {{25}^0}}} = 1\)
\(\tan {34^0} - \cot {56^0} = \tan {34^0} - \tan {34^0} = 0.\)
(Trả lời bởi datcoder)
Luyện tập 1 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Tập 1 - Trang 68)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5 cm, AC = 12 cm. Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc B.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) (Định lý Pythagore)
Nên \(B{C^2} = {5^2} + {12^2} = 169\) suy ra \(BC = 13\) (cm) .
Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác ta có:
\(\sin \widehat B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{12}}{{13}};\\\cos \widehat B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{5}{{13}};\\\tan \widehat B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{12}}{5};\\\cot \widehat B = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{{12}}\)
(Trả lời bởi datcoder)
Luyện tập 4 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Tập 1 - Trang 71)
Sử dụng MTCT tính các tỉ số lượng giác và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba:
a) sin40°54’;
b) cos52°15’;
c) tan69°36’;
d) cot25°18’.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\sin {40^0}54'\)
Ta có: \(\sin {40^0}54' = 0,6547408137 \approx 0,655\)
b) \(\cos {52^0}15'\)
Ta có: \(\cos {52^0}15' = 0,61221728 \approx 0,612\)
c) \(\tan {69^0}36'\)
Ta có: \(\tan {69^0}36' = 2,688918967 \approx 2,689\)
d) \(\cot {25^0}18'\)
Ta có: \(\tan {25^0}18' = 0,4726978344\) nên \(\cot {25^0}18' = \frac{1}{{\tan {{25}^0}18'}} = 2,115516356 \approx 2,116\)
(Trả lời bởi datcoder)
Mở đầu (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Tập 1 - Trang 66)
Ta có thể xác định “góc dốc” α của một đoạn đường dốc khi biết độ dài của dốc là a và độ cao của đỉnh dốc so với đường nằm ngang là h không? (H.4.1). (Trong các tòa chung cư, người ta thường thiết kế đoạn dốc cho người đi xe lăn với góc dốc bé hơn 6°).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiSau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:
Theo định nghĩa tỉ số lượng giác sin, ta có \(\sin\alpha=\dfrac{h}{a}\).
Vậy ta sẽ xác định được “góc dốc” α của một đoạn đường dốc khi biết độ dài của dốc là a và độ cao của đỉnh dốc so với đường nằm ngang là h.
(Trả lời bởi datcoder)
Hoạt động 1 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Tập 1 - Trang 67)
Cho tam giác ABC vuông tại A và tam giác A’B’C’ vuông tại A’ có \(\widehat{B}=\widehat{B'}=\alpha\).Chứng minh rằng:
a) \(\Delta ABC\text{ᔕ}\Delta A'B'C'\);
b) \(\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{A'C'}{B'C'};\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{A'B'}{B'C'};\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{A'C'}{A'B'};\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{A'B'}{A'C'}\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
a) Xét hai tam giác ABC và tam giác A’B’C’ ta có:
\(\begin{array}{l}\widehat A = \widehat {A'} = {90^0}\\\widehat B = \widehat {B'} = \alpha \end{array}\)
Nên \(\Delta ABC\backsim \Delta A'B'C'\left( g-g \right)\)
b) \(\Delta ABC\backsim \Delta A'B'C'\) suy ra \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}}\) (tỉ lệ các cạnh tương ứng)
Do \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}}\) nên ta có \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{A'B'}}{{B'C'}}\) (tính chất tỉ lệ thức)
Do \(\frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}}\) nên ta có \(\frac{{A'C'}}{{B'C'}} = \frac{{AC}}{{BC}}\) (tính chất tỉ lệ thức)
Do \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}}\) nên ta có \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{A'B'}}{{A'C'}}\) và \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{A'B'}}{{A'C'}}\) (tính chất tỉ lệ thức)
(Trả lời bởi datcoder)
Luyện tập 2 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Tập 1 - Trang 70)
Cho tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat{C}\) = 45° và AB = c. Tính BC và AC theo c.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Ta có: \(\tan \widehat C = \frac{{AB}}{{AC}}\) suy ra \(\tan {45^0} = \frac{c}{{AC}}\) do đó \(1 = \frac{c}{{AC}}\) hay \(AC = c\)
\(\sin \widehat C = \frac{{AB}}{{BC}}\) suy ra \(\sin {45^0} = \frac{c}{{BC}}\) do đó \(\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{c}{{BC}}\) hay \(BC = \frac{{2c}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 c\)
(Trả lời bởi datcoder)
Bài tập 4.2 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Tập 1 - Trang 73)
Cho tam giác vuông có một góc nhọn 60° và cạnh kề với góc 60° bằng 3 cm. Hãy tính cạnh đối của góc này.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC vuông tại A ta có: \(\tan \widehat C = \frac{{AB}}{{AC}}\) hay \(\tan {60^0} = \frac{{AB}}{3}\) suy ra \(AB = 3.\tan {60^0} = 3\sqrt 3 \) cm.
Vậy cạnh đối của góc là \(3\sqrt 3 \) cm.
(Trả lời bởi datcoder)
