Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

Các mũi tên chỉ đường trong khu tham quan vườn thú (Hình 1) gợi nên hình ảnh các vectơ trong không gian.

Vectơ trong không gian là gì? Các phép toán về vectơ trong không gian được thực hiện như thế nào?

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC};\)                         b) \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}.\)

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính:

a) \(\overrightarrow{A'B}.\overrightarrow{D'C'};\overrightarrow{D'A}.\overrightarrow{BC};\)                        b) Các góc \(\left(\overrightarrow{A'D},\overrightarrow{B'C'}\right);\left(\overrightarrow{AD'},\overrightarrow{BD}\right).\)

 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi G là trọng tâm của tam giác AB'D'. Chứng minh rằng \(\overrightarrow{A'C}=3\overrightarrow{A'G}\).

Trong mặt phẳng, hãy nêu định nghĩa:

a) Vectơ, giá và độ dài của vectơ, hai vectơ cùng phương, hai vectơ cùng hướng;

b) Vectơ-không;

c) Hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau.

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Hãy chỉ ra ba vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp sao cho mỗi vectơ đó:

a) Bằng vectơ \(\overrightarrow{AA'}\);

b) Là vectơ đối của \(\overrightarrow{AA'}\) .

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}.\)