Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Hướng dẫn giải

Chọn điểm \(M\left( {2;0;0} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right).\)

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) bằng khoảng cách từ \(M\left( {2;0;0} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( Q \right)\) và bằng:

\(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 - 8} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 6.\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Theo hình vẽ, toạ độ điểm \(A\) là \(A\left( {0;0;0} \right).\)

Điểm \(B\) nằm trên trục \(Ox\), \({x_B} > 0\) và \(AB = 2a\) nên toạ độ điểm \(B\) là \(B\left( {2a;0;0} \right).\)

Điểm \(S\) nằm trên trục \(Oz\), \({z_S} > 0\) và \(SA = 3a\) nên toạ độ điểm \(S\) là \(S\left( {0;0;3a} \right).\)

Điểm \(D\) nằm trên trục \(Oy\), \({y_D} > 0\) và \(AD = 5a\) nên toạ độ điểm \(D\) là \(D\left( {0;5a;0} \right).\)

Điểm \(C\) nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), \(CB \bot Ox\), \(CD \bot Oy\) nên toạ độ điểm \(C\) là \(C\left( {2a;5a;0} \right).\)

Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) đi qua \(S\), \(B\), \(C\). Ta có \(\overrightarrow {SB}  = \left( {2a;0; - 3a} \right)\) và \(\overrightarrow {BC}  = \left( {0;5a;0} \right)\). Suy ra một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là \(\vec u = \frac{1}{a}\overrightarrow {SB}  = \left( {2;0; - 3} \right)\) và \(\vec v = \frac{1}{a}\overrightarrow {BC}  = \left( {0;5;0} \right).\)

Từ đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là

\(\vec n = \left[ {\vec u,\vec v} \right] = \left( {0.0 - \left( { - 3} \right).5;\left( { - 3} \right).0 - 2.0;2.5 - 0.0} \right) = \left( {15;0;10} \right).\)

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là

\(15\left( {x - 0} \right) + 0\left( {y - 0} \right) + 10\left( {z - 3a} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2z - 6a = 0.\)

Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là:

\(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{\left| {3.0 + 2.0 - 6a} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \frac{{6a\sqrt {13} }}{{13}}.\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \(\left( P \right)\), \(\left( Q \right)\), \(\left( R \right)\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {3;1; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  = \left( {6;2; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_{\left( R \right)}}}  = \left( {1; - 3;0} \right).\)

Ta thấy rằng \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}}\) nên \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} \) là 2 vectơ cùng phương. Từ đó suy ra \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right).\)

Ta có \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} .\overrightarrow {{n_{\left( R \right)}}}  = 3.1 + 1.\left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right).0 = 0\) nên \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{\left( R \right)}}} \) có giá vuông góc với nhau. Suy ra \(\left( P \right) \bot \left( R \right).\)

Ta có \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} .\overrightarrow {{n_{\left( R \right)}}}  = 6.1 + 2.\left( { - 3} \right) + \left( { - 2} \right).0 = 0\) nên \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{\left( R \right)}}} \) có giá vuông góc với nhau. Suy ra \(\left( Q \right) \bot \left( R \right).\)

(Trả lời bởi datcoder)