Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua điểm M(0; 2; 1) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{a}=\left(1;3;1\right),\overrightarrow{b}=\left(2;0;1\right)\).
a) Tìm tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).
b) Lập phương trình của mặt phẳng (α).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A(0; 1; 1), B(2; 4; 3), C(5; 3; 1).
a) Tìm tọa độ một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (α).
b) Tìm tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).
c) Lập phương trình của mặt phẳng (α).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {0;1;1} \right)\), \(B\left( {2;4;3} \right)\), \(C\left( {5;3;1} \right)\) nên có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;3;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {5;2;0} \right)\).
b) Do \(\left( \alpha \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;3;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {5;2;0} \right)\), nên một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là:
\(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3.0 - 2.2;2.5 - 2.0;2.2 - 3.5} \right) = \left( { - 4;10; - 11} \right)\).
c) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(A\left( {0;1;1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( { - 4;10; - 11} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là:
\( - 4\left( {x - 0} \right) + 10\left( {y - 1} \right) - 11\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - 4x + 10y - 11z + 1 = 0\).
(Trả lời bởi datcoder)
Viết phương trình mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:
a) (P) đi qua điểm A(2; 0; −1) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) = (5; −2; 7).
b) (P) đi qua điểm B(−2; 3; 0) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}\) = (2; 2; −1), \(\overrightarrow{v}\) = (3; 1; 0).
c) (P) đi qua ba điểm A(2; 1; 5), B(3; 2; 7), C(4; 1; 6).
d) (P) đi qua ba điểm M(7; 0; 0), N(0; −2; 0), P(0; 0; 9).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2;0; - 1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {5; - 2;7} \right)\) nên có phương trình là \(5\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y - 0} \right) + 7\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x - 2y + 7z - 3 = 0\).
b) Một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là:
\(\vec n = \left[ {\vec u,\vec v} \right] = \left( {2.0 - \left( { - 1} \right).1; - 1.3 - 2.0;2.1 - 2.3} \right) = \left( {1; - 3; - 4} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(B\left( { - 2;3;0} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1; - 3; - 4} \right)\) nên có phương trình là \(1\left( {x + 2} \right) - 3\left( {y - 3} \right) - 4\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 4z + 11 = 0\).
c) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {2;1;5} \right)\), \(B\left( {3;2;7} \right)\), \(C\left( {4;1;6} \right)\) nên có 1 cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {2;0;1} \right)\). Do đó một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1.1 - 2.0;2.2 - 1.1;1.0 - 1.2} \right) = \left( {1;3; - 2} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {2;1;5} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1;3; - 2} \right)\) nên có phương trình là \(1\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y - 1} \right) - 2\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 2z + 5 = 0\).
d) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(M\left( {7;0;0} \right)\), \(N\left( {0; - 2;0} \right)\), \(P\left( {0;0;9} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\frac{x}{7} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{9} = 1\).
(Trả lời bởi datcoder)
Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ OAB.O'A'B'. Biết O là gốc tọa độ, A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), O'(0; 0; 5). Viết phương trình các mặt phẳng (O'AB) và (O'A'B').
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiMặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) đi qua \(A\left( {2;0;0} \right)\), \(B\left( {0;3;0} \right)\), \(O'\left( {0;0;5} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{5} = 1\).
Theo hình vẽ, hình lăng trụ \(OAB.O'A'B'\) có các cạnh bên vuông góc với đáy, nên ta có \(OO' \bot \left( {O'A'B'} \right)\). Suy ra \[\overrightarrow {OO'} = \left( {0;0;5} \right)\] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {O'A'B'} \right)\).
Hơn nữa, mặt phẳng \(\left( {O'A'B'} \right)\) đi qua \(O'\left( {0;0;5} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( {O'A'B'} \right)\) là \(0\left( {x - 0} \right) + 0\left( {y - 0} \right) + 5\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow z - 5 = 0\).
(Trả lời bởi datcoder)
Cho hai mặt phẳng (α), (β) có phương trình là (α): x – 2y + 3z + 1 = 0 và (β): 2x – 4y + 6z + 1 = 0.
a) Nêu nhận xét về các vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng trên.
b) Cho điểm M(−1; 0; 0). Hãy cho biết các mặt phẳng (α), (β) có đi qua M không.
c) Giải thích tại sao (α) song song với (β).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {1; - 2;3} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) là \(\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} = \left( {2; - 4;6} \right)\).
Do \(\frac{1}{2} = \frac{{ - 2}}{{ - 4}} = \frac{3}{6}\), nên \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} \) cùng phương.
b) Thay toạ độ của điểm \(M\left( { - 1;0;0} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) ta có:
\( - 1 - 2.0 + 3.0 + 1 = 0\)
Như vậy mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( { - 1;0;0} \right)\).
Thay toạ độ của điểm \(M\left( { - 1;0;0} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) ta có:
\(2\left( { - 1} \right) - 4.0 + 6.0 + 1 = - 1 \ne 0\)
Như vậy mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) không đi qua điểm \(M\left( { - 1;0;0} \right)\).
c) Theo câu a, do \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} \) cùng phương, nên giá của \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} \) song song hoặc trùng nhau. Mặt khác, do \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} \) có giá vuông góc với \(\left( \alpha \right)\), \(\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} \) có giá vuông góc với \(\left( \beta \right)\), ta suy ra hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song hoặc trùng nhau. Hơn nữa, theo câu b, điểm \(M\left( { - 1;0;0} \right)\) thuộc \(\left( \alpha \right)\) nhưng không thuộc \(\left( \beta \right)\), suy ra \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau.
(Trả lời bởi datcoder)
Mặt phẳng (E): 2x – y + 8z + 1 = 0 song song với mặt phẳng nào sau đây?
a) (F): 8x – 4y + 32z + 7 = 0;
b) (H): 6x – 3y + 24z + 3 = 0;
c) (G): 10x – 5y + 41z + 1 = 0.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiCác mặt phẳng \(\left( E \right)\), \(\left( F \right)\), \(\left( H \right)\), \(\left( G \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_{\left( E \right)}}} = \left( {2; - 1;8} \right)\), \(\overrightarrow {{n_{\left( F \right)}}} = \left( {8; - 4;32} \right)\), \(\overrightarrow {{n_{\left( H \right)}}} = \left( {6; - 3;24} \right)\), \(\overrightarrow {{n_{\left( G \right)}}} = \left( {10; - 5;41} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {{n_{\left( F \right)}}} = 4\overrightarrow {{n_{\left( E \right)}}} \), nhưng \(7 \ne 4.1\). Vậy \(\left( E \right)\parallel \left( F \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {{n_{\left( H \right)}}} = 3\overrightarrow {{n_{\left( E \right)}}} \) và \(3 = 3.1\). Vậy \(\left( E \right) \equiv \left( H \right)\).
Ta có \(\frac{2}{{10}} = \frac{{ - 1}}{{ - 5}} \ne \frac{8}{{41}}\), suy ra \(\overrightarrow {{n_{\left( E \right)}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{\left( G \right)}}} \) không cùng phương. Vậy \(\left( E \right)\) cắt \(\left( G \right)\).
(Trả lời bởi datcoder)
Trên bản thiết kế đồ họa 3D của một cách đồng điện mặt trời trong không gian Oxyz, một tấm pin nằm trên mặt phẳng (P): 6x + 5y + z + 2 = 0; một tấm pin khác nằm trên mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(1; 1; 1) và song song với (P). Viết phương trình mặt phẳng (Q).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiDễ dàng thấy được \(M\left( {1;1;1} \right)\) không nằm trên \(\left( P \right)\).
Do \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\), nên một vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\) là \(\vec n = \left( {6;5;1} \right)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(M\left( {1;1;1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {6;5;1} \right)\) là \(6\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y - 1} \right) + 1\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x + 5y + z - 12 = 0\)
(Trả lời bởi datcoder)
Cho hai mặt phẳng (α) và (β) có phương trình là (α): 3x + 2y + z + 1 = 0 và (β): 5x – 10y + 5z + 9 = 0.
a) Chỉ ra hai vectơ \(\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của (α) và (β).
b) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\) và nêu nhận xét về hai mặt phẳng (α) và (β).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;2;1} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5; - 10;5} \right)\).
b) Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 3.5 + 2.\left( { - 10} \right) + 1.5 = 0\). Vậy hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) có giá vuông góc với nhau. Do \(\overrightarrow {{n_1}} \) có giá vuông góc với \(\left( \alpha \right)\), \(\overrightarrow {{n_2}} \) có giá vuông góc với \(\left( \beta \right)\) nên \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) vuông góc với nhau.
(Trả lời bởi datcoder)
Tìm các cặp mặt phẳng vuông góc trong các mặt phẳng sau:
(F): 3x + 2y + 5z + 3 = 0; (H): x – 4y + z + 23 = 0; (G): x – y + 3z + 24 = 0.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiCác mặt phẳng \(\left( F \right)\), \(\left( H \right)\), \(\left( G \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_{\left( F \right)}}} = \left( {3;2;5} \right)\), \(\overrightarrow {{n_{\left( H \right)}}} = \left( {1; - 4;1} \right)\), \(\overrightarrow {{n_{\left( G \right)}}} = \left( {1; - 1;3} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {{n_{\left( F \right)}}} .\overrightarrow {{n_{\left( H \right)}}} = 3.1 + 2.\left( { - 4} \right) + 5.1 = 0\). Vậy \(\left( F \right) \bot \left( H \right)\).
(Trả lời bởi datcoder)
Hai học sinh đang chuyền bóng. Bạn nữ ném bóng cho bạn nam. Quả bóng bay trên không, lệch sang phải và rơi xuống tại vị trí cách bạn nam 3 m, cách bạn nữ 5 m (Hình 16). Cho biết quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với mặt đất. Hãy viết phương trình của (P) trong không gian Oxyz được mô tả như trong hình vẽ.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiMặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( {0;0;1} \right)\).
Do \(\left( P \right) \bot \left( {Oxy} \right)\), mà vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của \(\left( {Oxy} \right)\) có giá vuông góc với \(\left( {Oxy} \right)\), nên giá của \(\vec n\) song song hoặc nằm trên \(\left( P \right)\). Như vậy \(\vec n\) là một vectơ chỉ phương của \(\left( P \right)\).
Mặt khác, theo hình vẽ, gọi \(A\) là điểm rơi của quả bóng trên mặt đất. Dễ dàng thấy được \({z_A} = 0\) và \({x_A} = 3\). Trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), ta có \(OA = 5\) và \({y_A} > 0\). Như vậy tung độ của \(A\) là \({y_A} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\). Vậy ta có \(A\left( {3;4;0} \right)\)
Theo hình vẽ,\(\left( P \right)\) đi qua điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\) và \(A\left( {3;4;0} \right)\), nên \(\overrightarrow {OA} \left( {3;4;0} \right)\) là một vectơ chỉ phương khác của \(\left( P \right)\). Ta dễ thấy rằng \(\vec n = \left( {0;0;1} \right)\) và \(\overrightarrow {OA} \left( {3;4;0} \right)\) là hai vectơ không cùng phương, do đó \(\vec n\) và \(\overrightarrow {OA} \) là một cặp vectơ chỉ phương của \(\left( P \right)\).
Như vậy một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là:
\(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\vec n,\overrightarrow {OA} } \right] = \left( {0.0 - 1.4;1.3 - 0.0;0.4 - 0.3} \right) = \left( { - 4;3;0} \right)\).
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(O\left( {0;0;0} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( { - 4;3;0} \right)\) là \( - 4\left( {x - 0} \right) + 3\left( {y - 0} \right) + 0\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow - 4x + 3y = 0\)
(Trả lời bởi datcoder)