Question

Z=a+bi (a,b thuộc R) thoả |z^2+4|=2|z| Đặt P=8(b^2-a^2)-12 tìm P theo |z|

Answer 1

ta có : \(\left|z^2+4\right|=2\left|z\right|\Leftrightarrow\left|\left(a+bi\right)^2+4\right|=2\left|a+bi\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|a^2-b^2+4+2abi\right|=2\left|a+bi\right|\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a^2-b^2+4\right)^2+\left(2ab\right)^2}=2\sqrt{a^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2+4\right)^2+\left(2ab\right)^2=4\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+16-2a^2b^2-8b^2+8a^2+4a^2b^2=4a^2+4b^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+2a^2b^2-4a^2-4b^2+4=8b^2-8a^2-12=P\)

\(\Leftrightarrow P=\left(a^2+b^2\right)^2-4\left(a^2+b^2\right)+4\)

\(\Leftrightarrow P=\left(a^2+b^2-2\right)^2=\left(\left|z\right|^2-2\right)^2\)

vậy \(P=\left(\left|z\right|^2-2\right)^2\)