Question

\(x^2+y^2+z^2\ge2\left(xy+xz\right)\)

Answer 1

Cho \(x=y=z=1\) thay vào BĐT đã cho ta được:

\(1^2+1^2+1^2\ge2\left(1.1+1.1\right)\Leftrightarrow3\ge4\) (vô lý)

Vậy BĐT sai.

Có lẽ phải sửa đề thế này mới đúng: \(x^2+y^2+z^2\ge\sqrt{2}\left(xy+xz\right)\)

Chứng minh:

\(x^2+y^2+z^2=\dfrac{x^2}{2}+y^2+\dfrac{x^2}{2}+z^2\ge2\sqrt{\dfrac{x^2}{2}.y^2}+2\sqrt{\dfrac{x^2}{2}.z^2}=\sqrt{2}\left(xy+xz\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^2}{2}=y^2\\\dfrac{x^2}{2}=z^2\end{matrix}\right.\)