Question

Với x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=3.CM

\(\frac{1}{x^2+x}\)+\(\frac{1}{y^2+y}\)+\(\frac{1}{z^2+z}\)>=\(\frac{3}{2}\)

Answer 1

Lời giải:

Sử dụng phương pháp hệ số bất định, ta sẽ chứng minh:

$\frac{1}{x^2+x}\geq \frac{5}{4}-\frac{3}{4}x(*)$

Thật vậy:

$(*)\Leftrightarrow \frac{1}{x^2+x}\geq \frac{5-3x}{4}$

$\Leftrightarrow 4\geq (5-3x)(x^2+x)$

$\Leftrightarrow 4-(5-3x)(x^2+x)\geq 0$

$\Leftrightarrow (x-1)^2(3x+4)\geq 0$ (luôn đúng với mọi $x>0$)

Hoàn toàn tương tự:

$\frac{1}{y^2+y}\geq \frac{5}{4}-\frac{3y}{4}$
$\frac{1}{z^2+z}\geq \frac{5}{4}-\frac{3z}{4}$

Cộng theo vế các BĐT trên ta có:

$\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\geq \frac{15}{4}-\frac{3}{4}(x+y+z)=\frac{3}{2}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$