Question

Với p là số nguyên tố p>3 CMR: p² -1 ⋮ 24

Answer 1

Lời giải:

Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3 nên $p$ lẻ và $p$ không chia hết cho $3$

$p$ lẻ nên $p$ có dạng \(4k\pm 1\) với \(k\in\mathbb{N}\)

\(\Rightarrow p^2-1=(4k\pm 1)^2-1=16k^2\pm 8k+1-1\)

\(\Leftrightarrow p^2-1=16k^2\pm 8k\vdots 8(1)\)

$p$ không chia hết cho $3$ nên $p$ có dạng \(3t\pm 1\) (\(t\in \mathbb{N}\) )

\(\Rightarrow p^2-1=(3t\pm 1)^2-1=9t^2\pm 6t+1-1\)

\(\Leftrightarrow p^2-1=9t^2\pm 6t\vdots 3\) (2)

Từ (1),(2) kết hợp với $(3,8)$ nguyên tố cùng nhau nên \(p^2-1\vdots 24\)

Ta có đpcm.