Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Duyen Đao

Với mỗi số k nguyên dương, đặt Sk= (√2+1)k+(√2-1)k.

CMR: Sm+n+Sm-n=Sm.Sn với mọi m,n là số nguyên dương và m>n

Nguyễn Lê Phước Thịnh
11 tháng 5 2020 lúc 18:16

Ta có: \(S_{m-n}=\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^m}{\left(\sqrt{2}+1\right)^n}+\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)^m}{\left(\sqrt{2}-1\right)^n}\)

\(=\left(\sqrt{2}+1\right)^m\cdot\left(\sqrt{2}-1\right)^n+\left(\sqrt{2}-1\right)^m\left(\sqrt{2}+1\right)^n\)

Do đó:

\(S_{m+n}+S_{m-n}=\left(\sqrt{2}+1\right)^{m+n}+\left(\sqrt{2}-1\right)^{m+n}+\left(\sqrt{2}+1\right)^m\cdot\left(\sqrt{2}-1\right)^n+\left(\sqrt{2}-1\right)^m\cdot\left(\sqrt{2}+1\right)^n\)

\(=\left(\sqrt{2}+1\right)^m\left[\left(\sqrt{2}+1\right)^n+\left(\sqrt{2}-1\right)^n\right]+\left(\sqrt{2}-1\right)^m\cdot\left[\left(\sqrt{2}-1\right)^n+\left(\sqrt{2}+1\right)^n\right]\)

\(=\left[\left(\sqrt{2}+1\right)^n+\left(\sqrt{2}-1\right)^n\right]\cdot\left[\left(\sqrt{2}+1\right)^m+\left(\sqrt{2}-1\right)^m\right]\)

\(=S_m\cdot S_n\)(đpcm)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Trọng Chiến
Xem chi tiết
Nguyễn Đức Lâm
Xem chi tiết
Hoai Bao Tran
Xem chi tiết
Cao Thi Thuy Duong
Xem chi tiết
Bùi Hiền Thảo
Xem chi tiết
Thái Linh Nhi
Xem chi tiết
Bùi Đức Anh
Xem chi tiết
Hoai Bao Tran
Xem chi tiết
Minh Hiếu
Xem chi tiết