Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Sách Giáo Khoa

Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có :

a) \(2^n< 2n+1\)

b) \(2^n>n^2+4n+5\)

c) \(3^n>2^n+7n\)?

Bùi Thị Vân
23 tháng 5 2017 lúc 14:46

a)
Với \(n=1\) .
\(2^n=2^2=4;2n+1=2.2+1=5\).
Với n = 1 thì \(2^n< 2n+1\).
Với \(n=2\)
\(2^n=2^3=8;2n+1=2.3+1=7\)
Với n = 2 thì \(2^n>2n+1\).
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp giả thiết:
Với \(n\ge2\) thì \(2^n>2n+1\). (*)
Với n = 2 (*) đúng .
Giả sử điều cần chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(2^k>2k+1\).
Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là: \(2^{k+1}>2\left(k+1\right)+1\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta có:
\(2^{k+1}=2.2^k>2.\left(2k+1\right)=4k+2>2\left(k+1\right)+1\) (với \(k\ge2\)).
Vậy điều phải chứng minh đúng với mọi n.

Bùi Thị Vân
23 tháng 5 2017 lúc 15:01

b)
Tương tự như câu a ta kiểm tra được với \(n\ge7\) thì \(2^n>n^2+4n+5\). (*)
Với n = 7.
\(2^7=128\); \(n^2+4n+5=7^2+4.7+5=82\).
\(2^7>7^2+4.7+7\) nên (*) đúng với n = 7.
Giả sử điều cần chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(2^k>k^2+4k+5\).
Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là: \(2^{k+1}>\left(k+1\right)^2+4\left(k+1\right)+5\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp suy ra:
\(2^{k+1}=2.2^k>2\left(k^2+4k+5\right)=2k^2+8k+10\)
\(=\left(k+1\right)^2+4\left(k+1\right)+5+k^2+2k\)\(>\left(k+1\right)^2+4\left(k+1\right)+5\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi \(n\ge7\).

Bùi Thị Vân
23 tháng 5 2017 lúc 15:12

c) Ta sẽ chứng minh với mọi \(n\ge4\) thì \(3^n>2^n+7n\). (*)
Với n = 4.
\(3^n=3^4=81;2^n+7n=2^4+4.7=44\).
Suy ra (*) đúng với n = 4.
Giả sử (*) đúng với n = k.
Nghĩa là: \(3^k>2^k+7k\).
Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là: \(3^{k+1}>2^{k+1}+7\left(k+1\right)\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta có:
\(3^{k+1}=3.3^k>3\left(2^k+7k\right)=2.2^k+2^k+21k\)
\(=2^{k+1}+7\left(k+1\right)+14k-7\).
\(k\ge4\) suy ra \(14k-7>0\) nên \(2^{k+1}+7\left(k+1\right)+14k-7< 2^{k+1}+7\left(k+1\right)\).
Vậy \(3^{k+1}>2^{k+1}+7\left(k+1\right)\) .
Vậy điều cần chứng minh đúng với \(n\ge4\).


Các câu hỏi tương tự
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Võ Yến My
Xem chi tiết
Nguyễn Nam Khánh
Xem chi tiết
Giao nguyen
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Ngô Tuấn
Xem chi tiết
Jack Viet
Xem chi tiết