Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hoàng Quốc Tuấn

Với ba số dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=1

Tìm GTLN của Q=\(\frac{x}{x+\sqrt{x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{y+xz}}+\frac{z}{z+\sqrt{z+yz}}\)

Akai Haruma
29 tháng 3 2020 lúc 15:16

Lời giải:

Do $x+y+z=1$ nên:

$x+yz=x(x+y+z)+yz=(x+y)(x+z)=(x+y)(z+x)\geq (\sqrt{xz}+\sqrt{xy})^2$ theo BĐT Bunhiacopxky

$\Rightarrow \sqrt{x+yz}\geq \sqrt{xz}+\sqrt{xy}$

$\Rightarrow \frac{x}{x+\sqrt{x+yz}}\leq \frac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế suy ra:

$Q\leq \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1$

Vậy $Q_{\max}=1$ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
người bị ghét :((
Xem chi tiết
poppy Trang
Xem chi tiết
khoimzx
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
Bi Bi
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Minh
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Ngà
Xem chi tiết
Hoàng Trần Trà My
Xem chi tiết
Agami Raito
Xem chi tiết