Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
NBH Productions

Với a, b, c là các số nguyên dương chứng minh rằng :

\(\frac{a^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4}{c^3+a^3}\ge\frac{a+b+c}{2}\)

Nguyễn Huy Thắng
23 tháng 3 2019 lúc 20:09

\(\frac{a^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4}{c^3+a^3}\ge\frac{a+b+c}{2}\)

\(\Leftrightarrow\sum_{cyc}\left(\frac{a\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{2\left(a^3+b^3\right)}-\frac{3\left(a-b\right)}{4}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sum_{cyc}\left(\frac{\left(a-b\right)^2\left(ab+3b^2-a^2\right)}{4\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}\right)\ge0\)

tthnew
16 tháng 10 2019 lúc 10:56

P/s: hình như kí hiệu \(\Sigma_{sym}f\left(a;b;c\right)=f\left(a;b;c\right)+f\left(a;c;b\right)+f\left(b;c;a\right)+f\left(b;a;c\right)+f\left(c;a;b\right)+f\left(c;b;a\right)\) thì phải! Nếu như thế thì cách em như sau:

\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}\)

Cần: \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^3+b^3+c^3\right)}\ge\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{sym}a^2b^2\ge\Sigma_{sym}ab^3\)

Đến đây chắc dùng Muirhead or sos gì ấy ạ! Muirhead em ko chắc nên chắc chiều đi học về dùng sos....


Các câu hỏi tương tự
Nano Thịnh
Xem chi tiết
Đại Ngọc
Xem chi tiết
khoimzx
Xem chi tiết
fghj
Xem chi tiết
Phan Tiến Nhật
Xem chi tiết
Agami Raito
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
Agami Raito
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết