Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trang

với 2 số thực ko âm a, b thỏa mãn \(a^2+b^2=4\) , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(M=\dfrac{ab}{a+b+2}\)

Aki Tsuki
8 tháng 9 2018 lúc 19:17

Ta có:

\(a^2+b^2=4\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=4+2ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-4=2ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-2\right)\left(a+b+2\right)=2ab\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b-2\right)\left(a+b+2\right)}{2}=ab\)

\(\Rightarrow M=\dfrac{ab}{a+b+2}=\dfrac{\left(a+b-2\right)\left(a+b+2\right)}{2\left(a+b+2\right)}=\dfrac{a+b-2}{2}=\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{2}-\dfrac{2}{2}=\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{2}-1\)

A/dụng bđt bunhiacopxki có:

\(\left(\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{2}\right)^2\le\left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\right]\left(a^2+b^2\right)=\dfrac{1}{2}\cdot4=2\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{2}\le\sqrt{2}\Rightarrow\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{2}-1\le\sqrt{2}-1\)

hay \(M\le\sqrt{2}-1\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=\sqrt{2}\)

Vậy \(Max_M=\sqrt{2}-1\)<=> a=b=\(\sqrt{2}\)

Serena chuchoe
8 tháng 9 2018 lúc 19:27

\(a^2+b^2=4\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=4+2ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-4=2ab\)

=> \(2M=\dfrac{2ab}{a+b+2}=\dfrac{\left(a+b\right)^2-4}{a+b+2}=\dfrac{\left(a+b+2\right)\left(a+b-2\right)}{a+b+2}=a+b-2\)

Ta có: \(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=\sqrt{2\cdot4}=2\sqrt{2}\left(bunhiacopxki\right)\)

\(\Rightarrow2M\le2\sqrt{2}-2\Rightarrow M\le\sqrt{2}-1\)

đẳng thức xảy ra <=> a=b=√2

vậy...


Các câu hỏi tương tự
Như Quỳnh
Xem chi tiết
Trương  quang huy hoàng
Xem chi tiết
Trần Đặng Hạ Quỳnh
Xem chi tiết
Light Stars
Xem chi tiết
Con gà 123
Xem chi tiết
Hoàng Vân Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thanh Trang
Xem chi tiết
Nấm Chanel
Xem chi tiết
Nấm Chanel
Xem chi tiết