Viết phương trình của mặt phẳng:
a) Đi qua điểm A(2; 0; 0) và nhận \(\overrightarrow{n}\) = (2; 1; −1) làm vectơ pháp tuyến;
b) Đi qua điểm B(1; 2; 3) và song song với giá của mỗi vectơ \(\overrightarrow{u}\) = (1; 2; 3) và \(\overrightarrow{v}\) = (−2; 0; 1).
c) Đi qua ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) và C(0; 0; 4).
a) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {2;0;0} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {2;1; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là \(2\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 0} \right) - 1\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - z - 4 = 0.\)
b) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(B\left( {1;2;3} \right)\) và song song với giá của mỗi vectơ \(\vec u = \left( {1;2;3} \right)\) và \(\vec v = \left( { - 2;0;1} \right)\). Do \(\left( P \right)\) song song với giá của \(\vec u\) và \(\vec v\) nên \(\vec u\) và \(\vec v\) là một cặp vectơ chỉ phương của \(\left( P \right)\). Do đó, một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là:
\(\vec n = \left[ {\vec u,\vec v} \right] = \left( {2.1 - 3.0;3.\left( { - 2} \right) - 1.1;1.0 - 2.\left( { - 2} \right)} \right) = \left( {2; - 7;4} \right).\)
Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(B\left( {1;2;3} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( {2; - 7;4} \right)\) là \(2\left( {x - 1} \right) - 7\left( {y - 2} \right) + 4\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 7y + 4z = 0.\)