Question

Tứ giác  ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì ? Vì sao ?

Answer 1

xét tam giác ABC có :

EA = FB (gt)

FB = FC (gt)

\(\Rightarrow EF\) là đường trung bình

\(\Rightarrow\) EF // AC và EF = \(\dfrac{1}{2}\) AC (1)

chứng minh tương tự HG là đường trung bình tam giác ADC

HG // AC và HG = \(\dfrac{1}{2}\) AC (2)

từ (1) và (2) ta suy ra EF // HG và EF = HG

\(\Rightarrow\) EFGH là hình bình hành (3)

ta có : EF // AC

EH // BD ( EH là đường trung bình tam giác ABD )

AC \(\perp\) BD ( gt )

\(\Rightarrow\) EF \(\perp\) EH

hay góc E = 90 độ (4)

từ (3) và (4) ta suy ra EFGH là hình chữ nhật

Answer 2

Bài giải:

Ta có EB = EA, FB = FC (gt)

Nên EF là đường trung bình của ∆ABC

Do đó EF // AC

HD = HA, GD = GC

Nên HG là đường trung bình của ∆ADC

Do đó HG // AC

Suy ra EF // HG

Tương tự EH // FG

Do đó EFGH là hình bình hành.

EF // AC và BD ⊥ AC nên BD ⊥ EF

EH // BD và EF ⊥ BD nên EF ⊥ EH hay = 90⁰

Hình bình hành EFGH có = 90⁰ nên là hình chữ nhật.