Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình \(y=\frac{-x^2}{2}\). Gọi (d) là đường thẳng đi qua I(0;-2) và có hệ số góc là k.
a) Viết phương trình đường thẳng (d). CMR: đường thẳng (d) luôn cắt parabol tại hai điểm phân biệt A, B khi k thay đổi.
b) Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành. CMR: tam giác IHK vuông tai I.
Phương trình d: \(y=kx+b\)
Do d qua I nên: \(0.k+b=-2\Rightarrow b=-2\Rightarrow y=kx-2\)
Phương trình hoành độ giao điểm d và (P):
\(-\frac{x^2}{2}=kx-2\Leftrightarrow x^2+2kx-4=0\)
\(ac=-4< 0\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm trái dấu hay d luôn cắt (P) tại 2 điểm A;B phân biệt (và có hoành độ trái dấu)
b/ Giả sử A là điểm có hoành độ âm
Gọi \(A\left(a;-\frac{a^2}{2}\right)\Rightarrow H\left(a;0\right)\)
\(B\left(b;-\frac{b^2}{2}\right)\Rightarrow K\left(b;0\right)\)
\(\Rightarrow HK^2=\left(b-a\right)^2\) ; \(IH^2=a^2+2^2\); \(IK^2=b^2+2^2\)
\(\Rightarrow IH^2+IK^2=a^2+b^2+8\)
\(HK^2=a^2+b^2-2ab=a^2+b^2-2.\left(-4\right)=a^2+b^2+8\)
\(\Rightarrow HK^2=IH^2+IK^2\Rightarrow\Delta IHK\) vuông tại I
