Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Phạm Thảo Vân

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có A trùng với gốc của hệ tọa độ.

B(a;0;0); D(0;a;0); A'(0;0;b); (a>0;b>0)

Gọi M là trung điểm của CC'

a. Tìm thể tích khối tứ diện BDA'M theo a, b

b. Xác định tỉ số \(\frac{a}{b}\) để 2 mặt phẳng (A'BD) và (MBD) vuông góc với nhau.

Thiên An
21 tháng 5 2016 lúc 21:05

O A B C D B' A' D' C' M K O a a

a. Từ giả thiết ta có :

\(C\left(a;a;0\right);C'\left(a;a;b\right);D'\left(0;a;b\right);B'\left(a;0;b\right)\)

Vì M là trung điểm của CC' nên \(M=\left(a;a;\frac{b}{2}\right)\)

Ta có :

\(\overrightarrow{BD}=\left(-a;a;0\right)\)

\(\overrightarrow{BA}=\left(-a;0;b\right)\)

\(\overrightarrow{BM}=\left(0;a;\frac{b}{2}\right)\)

Vì thế \(\left[\overrightarrow{BD};\overrightarrow{BA'}\right]=\left(\left|\begin{matrix}a&0\\0&b\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}0&-a\\b&-a\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-a&a\\-a&0\end{matrix}\right|\right)\)

                              \(=\left(ab,ab,a^2\right)\)

Vậy \(V_{BDa'M}=\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{BD};\overrightarrow{BA'}\right].\overrightarrow{BM}\right|=\frac{1}{6}\left|a^2b+\frac{a^2b}{2}\right|=\frac{a^2b}{4}\)

b. Gọi K là trung điểm của BD. Do \(A'B=A'D\Rightarrow A'K\perp BD\)

Lại có \(MB=MD\Rightarrow MK\perp BD\)

Vậy \(\widehat{A'KM}=90^0\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{A'K}.\overrightarrow{MK}=0\)

Ta có : 

\(K=\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0\right)\) do đó :

\(\overrightarrow{A'K}=\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};-b\right)\)

\(\overrightarrow{MK}=\left(-\frac{a}{2};\frac{-a}{2};\frac{-b}{2}\right)\)

Vậy \(\left(1\right)\Leftrightarrow-\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{2}=0\)

             \(\Leftrightarrow b^2=a^2\)

             \(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=1\)

Do (a>0,b>0)  vì thế \(\left(A'BD\right)\perp\left(MBD\right)\Leftrightarrow\frac{a}{b}=1\)

 


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Đình Hồng
Xem chi tiết
yen le
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Nhàn Phan
Xem chi tiết
Nguyễn Đức
Xem chi tiết
Hoa Thanh Tran
Xem chi tiết
my vương
Xem chi tiết
Nguyễn Hiếu
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết