Question

Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.

a) x² + y² + z² – 2x – 5z + 30 = 0;

b) x² + y² + z² – 4x + 2y – 2z = 0;

c) x³ + y³ + z³ – 2x + 6y – 9z – 10 = 0;

d) x² + y² + z² + 5 = 0.

Answer 1

a) Phương trình đã cho tương ứng với \(a = 1,b = 0,c = \frac{5}{2},d = 30\).

Ta có: \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {1^2} + {0^2} + {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} - 30 = \frac{{ - 91}}{4} < 0\). Do đó, phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu.

b) Phương trình đã cho tương ứng với \(a = 2,b =  - 1,c = 1,d = 0\).

Ta có: \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {2^2} + {\left( { - 1} \right)^2} + {1^2} - {0^2} = 6 > 0\). Do đó, phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu có tâm \(\left( {2; - 1;1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 6 \).

c) Phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.

d) Phương trình đã cho tương ứng với \(a = 0,b = 0,c = 0,d = 5\).

Ta có: \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {0^2} + {0^2} + {0^2} - {5^2} =  - 25 < 0\). Do đó, phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu.