Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Quỳnh Nguyễn

Trong k gian Oxyz, cho M(4;1;9). Gọi (P) là mp đi qua M và cắt Ox,Oy,Oz lần luợt A,B,C (khác O) sao cho (OA+OB+OC) đạt GTNN. Tính d(I,(P)).

Mong m.n giaỉ chi tiết hộ mk với

Nguyễn Việt Lâm
6 tháng 4 2019 lúc 12:19

Gọi tọa độ các giao điểm là \(A\left(a;0;0\right)\); \(B\left(0;b;0\right)\); \(C\left(0;0;c\right)\)

Không làm mất tính tổng quát, chỉ cần xét trường hợp \(a;b;c>0\)

Phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn: \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)

Ta có: \(S=OA+OB+OC=a+b+c\)

Do \(\left(P\right)\) qua M nên: \(\frac{4}{a}+\frac{1}{b}+\frac{9}{c}=1\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Scwarz: \(\frac{2^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{3^2}{c}\ge\frac{\left(2+1+3\right)^2}{a+b+c}=\frac{36}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{36}{a+b+c}\le1\Rightarrow a+b+c\ge36\)

\(\Rightarrow S_{min}=36\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=36\\\frac{2}{a}=\frac{1}{b}=\frac{3}{c}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=12\\b=6\\c=18\end{matrix}\right.\)

Phương trình (P) khi đó có dạng: \(\frac{x}{12}+\frac{y}{6}+\frac{z}{18}=1\)

Hay chuyển dạng chính tắc: \(3x+6y+2z-36=0\)

Không thấy điểm I ở đâu để tính tiếp cả, nhưng đến đây thì mọi chuyện đơn giản, chỉ cần áp dụng công thức khoảng cách vào là xong.


Các câu hỏi tương tự
Nhàn Phan
Xem chi tiết
Nguyễn Hiếu
Xem chi tiết
Thư Hoàngg
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Truongduy
Xem chi tiết
Lê Ngọc Bảo Ngân
Xem chi tiết
Nguyễn Đình Hồng
Xem chi tiết
Đào Sơn
Xem chi tiết
my vương
Xem chi tiết