Question

Trên đoạn thẳng AB lấy M,N. M nằm giữa A và N. Vẽ về 1 phía của AB các tam giác đều AMD, MNE, BNF. Gọi G là trọng tâm tâm giác DEF. Chứng minh khoảng cách từ G đến AB không phụ thuộc vào vị trí các điểm M,N.

Answer 1

Goi giao điểm của AD và BF là K
->Tam giác KAB đều(Góc A=B=60 độ)
Đặt AM=a
MN=b
NB=c
Kẻ DD' vuông góc với AM
EE' vuông góc với MN
FF' vuông góc với BN
KK' vuông góc với AB
vì chiều cao của tam giác đều bằng \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) cạnh góc vuông:
=>DD'=\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) .a
EE'=\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) .b
FF'=\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) .c
KK'=\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) .AB=\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) .(a+b+c)
=>Tổng khoảng cách từ D,E,F đến AB bằng tổng khoảng cách từ K đến AB->khoảng cách từ G đến AB bằng \(\dfrac{1}{3}\) KK'
=>Khoảng cách từ G đến AB ko phụ thuộc vào vị trí điểm M,N trên AB