Tổng quát hơn IMO 1983!
Với a$,$ b$,$ c là độ dài $3$ cạnh tam giác và \(k\in\left[0,1\right]\) thì$:$
\(a^2b\left(a-b\right)+b^2c\left(b-c\right)+c^2a\left(c-a\right)\ge k.b\left(a+b-c\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)\)
Ý tưởng - bài toán ban đầu$:$ DOTOANNANG đề xuất cho \(k\in\left[\frac{1}{3},1\right]\)
Đề xuất$:$ Mình đề xuất cho \(k\in\left[0,1\right]\) vẫn đúng!
Bài 1: CMR với mọi số thực a; b; c thì:
\(\left(a+b\right)^6+\left(b+c\right)^6+\left(c+a\right)^6\ge\dfrac{16}{61}\left(a^6+b^6+c^6\right)\)\
Bài 2: Cho a;b;c là các cạnh của tam giác:
CMR: \(a^2b\left(a-b\right)+b^2c\left(b-c\right)+c^2a\left(c-a\right)\ge0\)
Giúp mk với các bạn ơi
Cho a,b,c là các số thực dương. CMR
\(\frac{2\left(b+c-a\right)^2}{2a^2+\left(b+c\right)^2}+\frac{2\left(c+a-b\right)^2}{2b^2+\left(c+a\right)^2}+\frac{2\left(a+b-c\right)^2}{2c^2+\left(a+b\right)^2}\) ≥ 1
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác, chứng minh:
a) \(a^2b\left(a-b\right)+b^2c\left(b-c\right)+c^2a\left(c-a\right)\ge0\)
b) \(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\)
Cho a,b,c > 0. CMR P = \(\frac{a^2}{b\left(b+2c\right)}+\frac{b^2}{c\left(c+2a\right)}+\frac{c^2}{a\left(a+2b\right)}\) ≥ 1
Cho \(a,b,c>0\) thỏa mãn \(ab+bc+ca=3\) . CMR : \(\sqrt[3]{\dfrac{a}{b\left(b+2c\right)}}+\sqrt[3]{\dfrac{b}{c\left(c+2a\right)}}+\sqrt[3]{\dfrac{c}{a\left(a+2b\right)}\ge\dfrac{3}{\sqrt[3]{3}}}\)
Cho a,b,c là các số thực dương. CMR:
\(\frac{2\left(b+c-a\right)^2}{2a^2+\left(b+c\right)^2a+^{ }}+\frac{2\left(c+a-b\right)}{2b^2+\left(c+a\right)^2}+\frac{2\left(a+b-c\right)^2}{2c^2+\left(a+b\right)^2}\)\(\ge1\)
Dùng Bunhiacopxki dạng phân thức
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.CMR:
\(a)a^4+b^4+c^4< 2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
b)\(\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)
c)\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< 2\)
d)\(ab\ge\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)\)
1,cho các sô thực a,b,c thỏa mãn abc(a+b+c)=1. Tính giá trị của biểu thức Q=\(\frac{c^2\left(a+b\right)^2\left(1+a^2b^2\right)}{\left(1+b^2c^2\right)\left(1+c^2a^2\right)}\)
Cho các số thực dương a,b,c. CMR
\(\frac{\left(b+c-a\right)^2}{\left(b+c\right)^2+a^2}+\frac{\left(a+c-b\right)^2}{\left(a+c\right)^2+b^2}+\frac{\left(b+a-c\right)^2}{\left(b+a\right)^2+c^2}\ge\frac{3}{5}\)
