Question

Tính tổng: \(1^2+2^2+3^2+...+n^2\)

Answer 1

Answer 2

Ta sẽ chứng minh công thức tổng quát 1² + 2² + 3² +......+ n² = n(n + 1)(2n + 1)/6
Áp dụng liên tiếp hằng đẳng thức: (k + 1)³ = k³ + 3k² + 3k + 1 với k lần lượt là 1,2,3,...,n
Ta có:
2³ = (1 + 1)³ = 1³ + 3.1² + 3.1 + 1
3³ = (2 + 1)³ = 2³+ 3.2²+ 3.2 + 1
4³ = (3 + 1)³ = 3³ + 3.3²+ 3.3 + 1
........................................
(n + 1)³ = (n + 1)³ = n³+ 3.n² + 3.n + 1
Cộng vế theo vế và rút gọn, ta có:
(n + 1)³= 1³ + 3(12 + 2² + 3² +........+ n²) + 3n(n + 1)/2 + n
<=> 3(1² + 2²+ 3²+........+ n²) = (n + 1)³ − 1 − 3n(n + 1)/2 −n
<=> 3(1² + 2² + 3² +........+ n²) = (2(n + 1)³ − 3n(n + 1) - 2n - 2)/2
<=> 1²+ 2² + 3² +........+ n² = (2(n + 1)³ − 3n(n + 1) - 2n - 2)/6
<=> 1² + 2² + 3² +........+ n² = (2n³ + 3n² + n)/6
<=> 1² + 2² + 3² +........+ n² = n(n + 1)(2n + 1)/6

Answer 3