Bài 2: Tích phân

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Tuấn

Tính tích phân của

\( a) \int_{1}^{e} \frac{cos(lnx)}{cos^2x}dx \)

\(b)\int_{0}^{\pi^2} xsin\sqrt{x}dx \)

\(c) \int_{0}^{\frac{1}{9}} \frac{x}{sin^2 (2x+1)} dx\)

Akai Haruma
1 tháng 12 2018 lúc 0:54

Câu a: Tích phân không thể tính được

Câu b:

Đặt \(\sqrt{x}=t\). Khi đó:

\(\int ^{\pi ^2}_{0}x\sin \sqrt{x}dx=\int ^{\pi}_{0}t^2\sin td(t^2)\) \(=2\int ^{\pi}_{0}t^3\sin tdt\)

Tính \(\int t^3\sin tdt\) bằng nguyên hàm từng phần:

\(\Rightarrow \int t^3\sin tdt=\int t^3d(-\cos t)=-t^3\cos t+\int \cos t d(t^3)\)

\(=-t^3\cos t+3\int t^2\cos tdt\)

\(=-t^3\cos t+3\int t^2d(\sin t)=-t^3\cos t+3(t^2\sin t-\int \sin td(t^2))\)

\(=-t^3\cos t+3(t^2\sin t-2\int t\sin tdt)\)

\(=-t^3\cos t+3(t^2\sin t-2\int td(-cos t))\)

\(=-t^3\cos t+3[t^2\sin t-2(-t\cos t+\int \cos tdt)]\)

\(=-t^3\cos t+3t^2\sin t+6t\cos t-6\sin t+c\)

\(\Rightarrow 2\int ^{\pi}_{0}t^3\sin tdt=2(-t^3\cos t+3t^2\sin t+6t\cos t-6\sin t+c)\left|\begin{matrix} \pi\\ 0\end{matrix}\right.\)

\(=2\pi ^3-12\pi \)

Akai Haruma
1 tháng 12 2018 lúc 11:07

Lời giải:
Đặt \(2x+1=t\Rightarrow x=\frac{t-1}{2}\)

Khi đó:

\(\int ^{\frac{1}{9}}_{0}\frac{x}{\sin ^2(2x+1)}dx=\frac{1}{2}\int ^{\frac{11}{9}}_{0}\frac{t-1}{\sin ^2t}d(\frac{t-1}{2})=\frac{1}{4}\int ^{\frac{11}{9}}_{1}\frac{t-1}{\sin ^2t}dt\)

Xét \(\int \frac{t-1}{\sin ^2t}dt=\int \frac{t}{\sin ^2t}dt-\int \frac{dt}{\sin ^2t}=\int td(-\cot t)-(-\cot t)+c\)

\(=(-t\cot t+\int \cot tdt)+\cot t+c\)

\(=-t\cot t+\int \frac{\cos t}{\sin t}dt+\cot t+c\)

\(=-t\cot t+\int \frac{d(\sin t)}{\sin t}+\cot t+c\)

\(=-t\cot t+\ln |\sin t|+\cot t+c\)

\(\Rightarrow \frac{1}{4}\int ^{\frac{11}{9}}_{1}\frac{t-1}{\sin ^2t}dt=\frac{1}{4}(-t\cot t+\ln |\sin t|+\cot t+c)\left|\begin{matrix} \frac{11}{9}\\ 1\end{matrix}\right.\)

\(\approx 0,007\)


Các câu hỏi tương tự
Ngọc Ánh Nguyễn Thị
Xem chi tiết
Nguyễn Trần Khánh Linh
Xem chi tiết
Minh Ngọc Lê
Xem chi tiết
Phan trà my
Xem chi tiết
Trần Thu Trang
Xem chi tiết
Hồ Quốc Khánh
Xem chi tiết
Phan trà my
Xem chi tiết
D.Công Thiện
Xem chi tiết
Thảob Đỗ
Xem chi tiết