\(\dfrac{x}{7}+\dfrac{y}{41}+\dfrac{z}{49}=\dfrac{1000}{2009}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{287x+49y+41z}{2009}=\dfrac{1000}{2009}\)
\(\Leftrightarrow287x+49y+41z=1000\)
\(\Leftrightarrow41z=1000-287x-49y\le1000-287-49=664\) do \(x,y\) nguyên dương. (1)
Mặt khác ta cũng có \(1000\equiv6\left(mod7\right);287\equiv0\left(mod7\right);49\equiv0\left(mod7\right)\)
\(\Rightarrow1000-287x-49y\equiv6\left(mod7\right)\)
Mà \(41\equiv6\left(mod7\right)\Rightarrow z\equiv1\left(mod7\right)\) (2)
Từ (1) suy ra \(1\le z\le\dfrac{664}{41}\le16\) (3)
Từ (2),(3) suy ra \(z\in\left\{8;15\right\}\)
+) \(z=8\Leftrightarrow287x+49y=672\)
\(\Leftrightarrow41x+7y=96\)
Bằng phép thử ta nhận nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(2;2\right)\)
+) \(z=15\Leftrightarrow287x+49y=385\)
\(\Leftrightarrow41x+7y=55\)
Bằng phép thử ta nhận nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\)
Vậy tập nghiệm nguyên dương của phương trình là \(\left(x;y;z\right)\in\left\{\left(2;2;8\right);\left(1;2;15\right)\right\}\)
