Dương hay nguyên dương bạn? Dương thì 1 phương trình 2 ẩn nên hiển nhiên sẽ có vô số nghiệm
Trước hết cần biết tính chất: với các số nguyên dương \(a;b;c;d>1\) sao cho \(a;b\) nguyên tố cùng nhau, \(c;d\) nguyên tố cùng nhau thì:
\(ab=cd\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=c;b=d\\a=d;b=c\end{matrix}\right.\)
Ta dễ dàng chứng minh \(x^2\) và \(x+1\) nguyên tố cùng nhau, tương tự có \(y\) và \(y^2+1\) nguyên tố cùng nhau
- Với \(x=1\Rightarrow y=1\) ; với \(y=1\Rightarrow x=1\). Vậy \(\left(x;y\right)=\left(1;1\right)\) là một cặp nghiệm thỏa mãn
- Với \(x;y>1\), ta có:
\(x^2\left(x+1\right)=y\left(y^2+1\right)\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x^2=y\\x+1=y^2+1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x^2=y^2+1\\x+1=y\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2=y\\x+1=y^2+1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=y\\x=\left(x^2\right)^2=x^4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\) (loại)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2=y^2+1\\x+1=y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^2=\left(x+1\right)^2+1\Leftrightarrow2x+2=0\Rightarrow x=-1\left(l\right)\)
Vậy pt đã cho có cặp nghiệm nguyên dương duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(1;1\right)\)
