Lời giải:
Ở đây đương nhiên ta sẽ tính trong trường hợp x là số tự nhiên.
Ta có:
\(x^{2017}+x^{2015}+1=x^{2015}(x^2+x+1)-(x^{2016}-1)\)
\(=x^{2015}(x^2+x+1)-[(x^3)^{672}-1]=x^{2015}(x^2+x+1)-(x^3-1).A\)
(A là một biểu thức nào đó, chúng ta sẽ không phân tích kỹ vì nó không có vai trò trong bài toán)
\(=x^{2015}(x^2+x+1)-(x-1)(x^2+x+1)A\)
\(=(x^2+x+1)(x^{2015}-xA+A)\)
Do đó \(x^{2017}+x^{2015}+1\vdots x^2+x+1\) (1)
Xét \(x=0\) thì không thỏa mãn
Xét \(x\geq 1\Rightarrow x^2+x+1\geq 3\)
Do đó, từ (1), để \(x^{2017}+x^{2015}+1\) là số nguyên tố thì
\(x^{2017}+x^{2015}+1=x^2+x+1\)
Vì \(x\geq 1\Rightarrow x^{2017}\geq x^2; x^{2015}\geq x\)
\(\Rightarrow x^{2017}+x^{2015}+1\geq x^2+x+1\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x^{2017}=x^2\\ x^{2015}=x\end{matrix}\right.\Rightarrow x=1\) (x khác 0)
Thử lại thấy thỏa mãn
Vậy x=1
