Đặt d = (4n + 3, 5n + 1). Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}4n+3⋮d\\5n+1⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow5\left(4n+3\right)-4\left(5n+1\right)⋮d\Rightarrow\left(20n+15\right)-\left(20n+4\right)⋮d\Rightarrow11⋮d\Rightarrow d\in\left\{1;11\right\}\)
Để hai số đó không nguyên tố cùng nhau thì d \(\ne\) 1. Do đó d = 11. Muốn d = 11 thì hai số đó đều chia hết cho 11. Ta thấy:
\(\left\{{}\begin{matrix}4n+3⋮11\Rightarrow4n+3-11⋮11\Rightarrow4n-8⋮11\Rightarrow4\left(n-2\right)⋮11\Rightarrow n-2⋮11\\5n+1⋮11\Rightarrow5n+1-11⋮11\Rightarrow5n-10⋮11\Rightarrow5\left(n-2\right)⋮11\Rightarrow n-2⋮11\end{matrix}\right.\)
Vậy, để hai số đó không nguyên tố cùng nhau thì n chia cho 11 dư 2.
