\(x+y+z=xyz\) (*)
Chọn x=0 (1) ta có: \(xyz=0\Rightarrow\sqrt[3]{xyz}=0\Rightarrow3\sqrt[3]{xyz}=0\)
Suy ra: (*)\(\Rightarrow x+y+z=3\sqrt[3]{xyz}\)
Áp dụng Bđt Cô-si ta có:
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=0\) (vì x=0)
Vậy tổng của x,y,z là 0
Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z. Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 => xy thuộc {1 ; 2 ; 3}. Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào ( 2) ta có : 2 + z = z, vô lí. Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào ( 2), => z = 3. Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào ( 2), => z = 2. Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình ( 2) là các hoán vị của ( 1 ; 2 ; 3).
CHÚC BẠN HỌC TỐT
