Question

Tìm tích xyz biết x,y,z là 3 số thực thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+z^2=1\\x^3+y^3+z^3=1\end{matrix}\right.\)

Answer 1

Lời giải:

Từ PT (1) suy ra \(x^2,y^2,z^2\leq 1\Leftrightarrow -1\leq x,y,z\leq 1\)

Lấy PT (2) trừ PT (1) ta có:

\(x^2(x-1)+y^2(y-1)+z^2(z-1)=0\)

Do \(\left\{\begin{matrix} x^2\geq 0\forall x\in\mathbb{R}\\ x-1\leq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow x^2(x-1)\leq 0\)

Hoàn toàn tương tự: \(y^2(y-1), z^2(z-1)\leq 0\)

\(\Rightarrow x^2(x-1)+y^2(y-1)+z^2(z-1)\leq 0\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x^2(x-1)=0\\ y^2(y-1)=0\\ z^2(z-1)=0\end{matrix}\right.\)

Nếu \(x=y=z=1\Rightarrow x^2+y^2+z^2=3\neq 1\) (vô lý). Do đó tồn tại số bằng 0 trong ba số $x,y,z$
Do đó \(xyz=0\)