Question

Tìm tất cả số tự nhiên n để \(3^{2n}+3^n+1⋮13\)

Answer 1

Lời giải:

Do \(3^3\equiv 1\pmod {13}\) nên ta sẽ xét modulo $3$ cho $n$

Nếu \(n=3k\):

\(A=3^{2n}+3^n+1=3^{6k}+3^{3k}+1\)

\(A\equiv 1^{2k}+1^k+1\equiv 3\pmod {13}\Rightarrow A\not\vdots 13\) (loại)

Nếu \(n=3k+1\)

\(A=3^{2n}+3^n+1=3^{6k+2}+3^{3k+1}+1\)

\(A\equiv 1^{2k}.3^2+1^k.3+1\equiv 13\equiv 0\pmod {13}\)\(\Rightarrow A\vdots 13\) (chọn)

Nếu \(n=3k+2\)

\(A=3^{2n}+3^n+1=3^{6k+4}+3^{3k+2}+1\)

\(A\equiv 1^{2k}.3^4+1^k.3^2+1\equiv 91\equiv 0\pmod {13}\)\(\Rightarrow A\vdots 13\) (chọn)

Vậy tất cả các số tự nhiên $n$ không chia hết cho $3$ thì thỏa mãn đkđb.