Violympic toán 7

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lương Đình Đức

Tìm Tất cả các số nguyên dương a,b sao cho a+b2 chia hết cho a2b+1

Dương Huy Vũ
2 tháng 10 2018 lúc 21:21

Giả sử a+b2 chia hết cho a2b - 1,khi đó tồn tại số nguyên dương k sao cho a+b2=k(a2b-1)

Hay ta được a+k=b(ka2-b).Đặt m = ka2 - b với m là một số nguyên.Khi đó ta được mb=a+k.Từ đó suy ra mb-m-b=a+k-ka2

Hay ta được: mb-m-b+1=a+k-ka2+1

\(\Leftrightarrow\)(m-1)(b-1)=(a+1)(k+1-ka)

Do a,b,k là các số nguyên dương nên ta suy rq được m\(\ge\)1

Do đó ta suy ra được (b-1)(m-1)\(\ge\),điều này dẫn đến (a+1)(k+1-ka)\(\ge\)0.Mà ta có a là số nguyên dương nên ta suy ra được

k+1-ka\(\ge\)0 hay k(a-1)\(\le\)1

Mà k cũng là số nguyên dương suy ra k(a-1)=0 howcj k(a-1)=1

+Nếu k(a-1)=0 ta suy ra được a-1=0 suy ra a=1,khi đó ta dược(b-1)(m-1)=2

Do 2 là số nguyên tố nên từ (b-1)(m-1)=2 ta được b-1=1 hoặc b-1=2.Từ đó suy ra b=2 hặc b=3.Do đó trong trường hợp này ta được hai cặp số nguyên dương thỏa mãn bài toán là a=1;b=2 và a=1;b=3

+Nếu k(a-1)=1,khi đó ta được k=1;a=2,khi đó ta được

(b-1)(m-1)=0.Từ đây suy ra b=1 hoặc m=1.Do đó trong trương hợp này ta được hai cặp số nguyên dương thỏa mãn bài toán là:a=2;b=1 và a=2;b=3

Vậy các cặp số nguyên dương (a;b) thỏa mãn yêu cầu bài toán là(1;2),(1;3),(2;1),(2;3).

MỎI TAY


Các câu hỏi tương tự
Húc Phượng - Cẩm Mịch
Xem chi tiết
Nguyễn Đình Việt Anh
Xem chi tiết
Tạ Phương Anh
Xem chi tiết
Hàn Thu Hà
Xem chi tiết
Thân Thị Hoa
Xem chi tiết
Trần Thị Thùy Linh
Xem chi tiết
Lê Việt Long
Xem chi tiết
Roxie
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Ngân
Xem chi tiết