Gọi số cần tìm là: a
Ta có a = 29q + 5 = 31p +28 <=> 29(q - p) = 2p + 23.
Vì 2p + 23 lẻ nên ( q - p) lẻ => q - p \(\ge\) 1.
Vì a nhỏ nhất hay q - p = 1 => p = 3
=> a = 121.
Vậy số cần tìm là 121
Gọi A là số tự nhiên cần tìm
Số tự nhiên A chia cho 29 dư 5 nghĩa là A = 29p + 5 ( p ∈ N ) tương tự A = 31q + 28 ( q ∈ N ) nên
31q + 28 = 29p + 5 ở đây p > q vì nếu p ≤ q ta được 31q - 29 p + 23 = 0 là vô lý vì 31q - 29 p + 23 > 0 với giả thiết p ≤ q ( 29p ≤ 29q < 31q )
vậy p > q ta có 29 ( p - q ) = 23 + 2q vì A là nhỏ nhất nên với p, q ở trên thì p - q nhỏ nhất = 1 thay lại vào ta được q = ( 29 - 23 ) : 2 = 3 vậy p = 4 thay vào ta được A = 29. 4 + 5 = 121
Thử lại 121 = 31 . 3 + 28 thỏa mãn đề bài
Gọi số tự nhiên cần tìm là A
Chia 29 dư 5 nghĩa là: A=29p+5 ( p thuộc N)
Tương tự A=31q+28 ( q thuộc N)
Nên 29p+5=31q+28 =>29 (p-q)=2q+23
Ta thấy 2q+23 là số lẻ => 29 ( p - q)cũng là số lẻ => p -q=1
Theo giả thiết A nhỏ nhất
=> p nhỏ nhất ( A= 31q+28)
=>2q=29(p-q)-23 nhỏ nhất
=> p-q nhỏ nhất
Do đó p-q=1 => 2q=29-23=6
=>q=3
Vậy số cần tìm là: A=31q+28=31.3+28=121
