\(A\in N\Leftrightarrow\dfrac{8n+193}{4n+3}\in N\Leftrightarrow8n+193⋮4n+3\)
Ta có : 8n+193 = 2(4n+3)+187
Để 8n+193 \(⋮\) 4n+3 thì 187 \(⋮\) 4n+3
\(\Rightarrow4n+3\inƯ\left(187\right)\)
\(\Rightarrow4n+3\in\left\{\pm1;\pm11;\pm17;\pm187\right\}\)
Ta có bảng sau :
| 4n+3 | -187 | -17 | -11 | -1 | 1 | 11 | 17 | 187 |
| 4n | -190 | -20 | -14 | -4 | -2 | 8 | 14 | 184 |
| n | -42,5 | -5 | -3,5 | -1 | -0,5 | 2 | 3,5 | 46 |
Vì \(n\in N\) nên \(n\in\left\{2;46\right\}\)
Để phân số \(A=\dfrac{8n+193}{4n+3}\) có giá trị là số tự nhiên thì :
\(8n+193⋮4n+3\)
Mà \(4n+3⋮4n+3\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}8n+193⋮4n+3\\8n+6⋮4n+3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow187⋮4n+3\)
Vì \(n\in N\Leftrightarrow4n+3\in N;4n+3\inƯ\left(187\right)\)
Ta có bảng :
| \(4n+3\) | \(1\) | \(187\) | \(11\) | \(17\) |
| \(n\) | \(-1\) | \(46\) | \(2\) | \(\dfrac{7}{2}\) |
| \(Đk\) \(n\in N\) | loại | tm | tm | loại |
Vậy \(n\in\left\{2;46\right\}\)
